北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(\log x-1)}{x}}+2\log x-1$$である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ は$$2(\log x-1)({\displaystyle \frac{1}{x}}+1)=0$$と同値である。$x>0$ では $1\mathrm{/}x+1>0$ だから、ただ1つ $x=e$ を得る。このとき $f(e)=-e$ なので$$g(x)=x-2e$$である。

(2)
$u=\log x-1$ とおくと $x=e^{u+1}$ であり$$f(x)-g(x)=u^2+2e\{(u-1)e^u+1\}\mathrm{.}$$$\varphi (u)=(u-1)e^u+1$ とおけば$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=u{e}^u\mathrm{.}$$よって $\varphi$ は $u=0$ で最小値 $\varphi (0)=0$ をとる。$u^2\geqq 0$ でもあるから、すべての $x>0$ で$$f(x)\geqq g(x)$$が成り立つ。

(3)
接点は $x=e$ であり、(2)より求める面積は$$S={\int }_1^e\{f(x)-g(x)\}dx$$である。原始関数を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[x\{(\log x{)}^2-4\log x+5\}+x^2\log x-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2+2ex]}_1^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^2-5}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$

接線の傾き条件を整理すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)-1$ が $\log x-1$ と同符号になる。(2)では $h(x)=f(x)-g(x)$ とおき、$h^{\mathrm{\prime }}$ の符号から接点 $x=e$ で全体の最小値0をとることを示す。(3)は積分を3つに分け、それぞれ部分積分して端点値を計算する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)-1=2(\log x-1)(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathrm{.}$$$x>0$ では第2因子が正だから、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ となるのは $\log x=1$、すなわち $x=e$ だけである。$f(e)=-e$ より$$g(x)=x-2e\mathrm{.}$$(2)
$h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-1=2(\log x-1)(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathrm{.}$$したがって $h$ は $0<x<e$ で減少し、$x>e$ で増加する。また $h(e)=0$ だから、$h$ の最小値は0である。よって$$f(x)\geqq g(x)(x>0)$$である。

(3) $$S={\int }_1^e\{(\log x-1{)}^2+2x(\log x-1)-2x+2e\}dx\mathrm{.}$$部分積分により$${\int }_1^e(\log x-1{)}^{2}dx=2e-5,$$また$${\int }_1^e\{2x(\log x-1)-2x\}dx=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$さらに$${\int }_1^{e}2edx=2e^2-2e\mathrm{.}$$以上を加えると$$S={\displaystyle \frac{e^2-5}{2}}$$となる。