北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$F(x)=x^2+ax-2a-3$$とおくと$$y=F(x)e^{2x},y^{\mathrm{\prime }}=\{F^{\mathrm{\prime }}(x)+2F(x)\}{e}^{2x}\mathrm{.}$$接点の $x$ 座標を $t$ とする。接線が原点を通る条件は$$F(t)e^{2t}=t\{F^{\mathrm{\prime }}(t)+2F(t)\}{e}^{2t}\mathrm{.}$$$e^{2t}>0$ なので整理して$$0=t{F}^{\mathrm{\prime }}(t)+(2t-1)F(t)\mathrm{.}$$代入して因数分解すると$$(t-1)\{2t^2+(2a+3)t-(2a+3)\}=0.$$したがって $t=1$ は全ての $a$ に対して1つの接点を与える。

2次式へ $t=1$ を代入した値は2なので、その解が $t=1$ と重なることはない。よって点 $P$ がただ1つであるための必要十分条件は$$2t^2+(2a+3)t-(2a+3)=0$$が実数解をもたないことである。

判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(2a+3{)}^2+8(2a+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2a+3)(2a+11)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$D<0$$より$$-{\displaystyle \frac{11}{2}}<a<-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$

$t\mathrm{\ne }0$ では、原点と曲線上の点を結ぶ直線の傾き $h(x)=y\mathrm{/}x$ が停留するとき、その直線が接線になる。$h^{\mathrm{\prime }}$ の分子を因数分解して接点数を数し、$t=0$ は別に確認する。

曲線上の $x\mathrm{\ne }0$ の点と原点を結ぶ直線の傾きを$$h(x)={\displaystyle \frac{(x^2+ax-2a-3)e^{2x}}{x}}$$とする。この直線がその点で接線になる条件は$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=0$$である。分母 $x^2$ と正の因子 $e^{2x}$ を除いた分子を整理すると$$(x-1)\{2x^2+(2a+3)x-(2a+3)\}\mathrm{.}$$したがって $x=1$ は常に接点を与え、残る接点の個数は$$2x^2+(2a+3)x-(2a+3)=0$$の実数解の個数に等しい。

$x=0$ は $h$ では扱えないが、曲線上の $x=0$ の点が原点になる条件は$$-2a-3=0,$$すなわち $a=-3\mathrm{/}2$ である。この値は2次方程式が重解 $x=0$ をもつ境界に一致する。

よって接点が $x=1$ の1つだけであるには、2次方程式の判別式$$(2a+3)(2a+11)$$が負であればよい。したがって$$-{\displaystyle \frac{11}{2}}<a<-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$両端では追加の重解が1つ、区間の外では追加の相異なる実数解が2つ生じるので、端点を含まない。