北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$u=2^t$ とおくと $u>0$ である。また $$2^{t+1}=2u,2^{t+2}=4u$$ である。

一般に正の数 $v$ に対して、点は $({\displaystyle \frac{v+v^{-1}}{2}},{\displaystyle \frac{v-v^{-1}}{2}})$ と表される。したがって、3点に対応する $v$ は $u,2u,4u$ である。

重心を $(X,Y)$ とする。まず $X$ 座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\displaystyle \frac{u+u^{-1}}{2}}+{\displaystyle \frac{2u+(2u{)}^{-1}}{2}}+{\displaystyle \frac{4u+(4u{)}^{-1}}{2}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}(7u+{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}{u}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}(7u+{\displaystyle \frac{7}{4u}})}\end{array}$$である。同じように $Y$ 座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\displaystyle \frac{u-u^{-1}}{2}}+{\displaystyle \frac{2u-(2u{)}^{-1}}{2}}+{\displaystyle \frac{4u-(4u{)}^{-1}}{2}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}(7u-{\displaystyle \frac{7}{4u}})}\end{array}$$である。

よって $$X+Y={\displaystyle \frac{7u}{3}},X-Y={\displaystyle \frac{7}{12u}}$$ である。これらを掛けると $$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)={\displaystyle \frac{49}{36}}$$ となる。また $X+Y>0$、$X-Y>0$ なので $X>0$ である。

逆に、$X^2-Y^2=49\mathrm{/}36$、$X>0$ を満たす点では $X>\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }$ だから $X+Y>0$ である。そこで $$u={\displaystyle \frac{3(X+Y)}{7}}$$ とおけば $u>0$ であり、条件 $(X+Y)(X-Y)=49\mathrm{/}36$ から $$X-Y={\displaystyle \frac{49}{36(X+Y)}}={\displaystyle \frac{7}{12u}}$$ も成り立つ。したがってこの枝上の点はすべて重心として現れる。

以上より、重心の軌跡は $$x^2-y^2={\displaystyle \frac{49}{36}},x>0$$ である。

各点では$x(s)+y(s)=2^s$、$x(s)-y(s)=2^{-s}$が成り立つ。重心でも座標の和と差を先に計算し、その積から双曲線を得る。正の指数値を用いて右側の枝であることと逆向きの実現を確認する。

重心を$(X,Y)$とする。定義から、任意の実数$s$について$$x(s)+y(s)=2^s,x(s)-y(s)=2^{-s}$$である。したがって重心の座標の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X+Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{2^t+2^{t+1}+2^{t+2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{3}}{2}^t,}\end{array}$$差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X-Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{2^{-t}+2^{-(t+1)}+2^{-(t+2)}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{12}}{2}^{-t}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)={\displaystyle \frac{49}{36}}\mathrm{.}$$また$X+Y>0$かつ$X-Y>0$だから$X>0$である。

逆に$$X^2-Y^2={\displaystyle \frac{49}{36}},X>0$$を満たす点では$X>\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }$なので$X+Y>0$である。$$2^t={\displaystyle \frac{3(X+Y)}{7}}$$を満たす実数$t$がただ1つ存在し、双曲線の式から$X-Y={\displaystyle \frac{7}{12}}{2}^{-t}$も従う。したがって右側の枝上のすべての点が実現する。

ゆえに軌跡は$$x^2-y^2={\displaystyle \frac{49}{36}},x>0$$である。