北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

条件（イ）より、$(1,0)$ は $(2,0)$ に移る。したがって行列の第1列は $(2,0)$ であり、$$A=\left(\begin{array}{cc}2& u\\ 0& v\end{array}\right)$$とおける。 $P$ は直線 $y=ax$ 上の原点以外の点だから、ある $s\mathrm{\ne }0$ を用いて $P=s(1,a)$ と書ける。このとき $Q=f(P)=s(2+au,av)$ である。

まず $\mathrm{\angle }POQ$ が直角であることから、$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$$ である。よって $s^2\{2+au+a^{2}v\}=0$ であり、$s\mathrm{\ne }0$ だから $2+au+a^{2}v=0$ を得る。

次に面積条件を用いる。三角形 $POQ$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \det \left(\begin{array}{cc}s& s(2+au)\\ as& asv\end{array}\right)\mid ={\displaystyle \frac{s^2}{2}}\mathrm{\mid }a(v-2-au)\mathrm{\mid }$$である。一方、$O{P}^2=s^2(1+a^2)$ であるから、面積条件は $${\displaystyle \frac{s^2}{2}}\mathrm{\mid }a(v-2-au)\mathrm{\mid }=s^2(1+a^2)$$ である。

ここで直交条件 $2+au=-a^{2}v$ を用いると $v-2-au=v+a^{2}v=v(1+a^2)$ となる。したがって $${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }av\mathrm{\mid }(1+a^2)=1+a^2$$ であり、$1+a^2>0$ より $\mathrm{\mid }av\mathrm{\mid }=2$ を得る。$a\mathrm{\ne }0$ だから $$v={\displaystyle \frac{2}{a}}\text{または}v=-{\displaystyle \frac{2}{a}}$$ である。 $v=2\mathrm{/}a$ のとき、直交条件から $2+au+2a=0$ であるから $$u=-{\displaystyle \frac{2(a+1)}{a}}$$ である。$v=-2\mathrm{/}a$ のときは $2+au-2a=0$ より $$u={\displaystyle \frac{2(a-1)}{a}}$$ である。

よって求める行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{2(a+1)}{a}}\\ 0& {\displaystyle \frac{2}{a}}\end{array}\right)$$または$$A=\left(\begin{array}{cc}2& {\displaystyle \frac{2(a-1)}{a}}\\ 0& -{\displaystyle \frac{2}{a}}\end{array}\right)$$である。

直角三角形の面積から $OQ=2OP$ を先に出し、方向を90度回転した2通りのベクトルとして行列の第2列を決める。

図形的解法$$\mathit{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right),J\mathit{e}=\left(\begin{array}{c}-a\\ 1\end{array}\right)$$とおく。直線 $y=ax$ 上の点は $s\mathit{e}$ と書ける。直角条件と$$[\mathrm{△}POQ]={\displaystyle \frac{1}{2}}OP\cdot OQ=O{P}^2$$から$$OQ=2OP$$である。したがって、$A\mathit{e}$ は $\mathit{e}$ に垂直で長さが2倍だから$$A\mathit{e}=2J\mathit{e}\text{または}A\mathit{e}=-2J\mathit{e}\mathrm{.}$$一方、条件（イ）より$$A=\left(\begin{array}{cc}2& u\\ 0& v\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$$\left(\begin{array}{c}2+au\\ av\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2a\\ 2\end{array}\right)$$または$$\left(\begin{array}{c}2+au\\ av\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a\\ -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$それぞれを解けば$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{2(a+1)}{a}}\\ 0& {\displaystyle \frac{2}{a}}\end{array}\right)$$または$$A=\left(\begin{array}{cc}2& {\displaystyle \frac{2(a-1)}{a}}\\ 0& -{\displaystyle \frac{2}{a}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$両方とも $$A(1,0{)}^{\mathsf{T}}=(2,0{)}^{\mathsf{T}}$$ を満たし、直線上の全点に対して直角条件と面積条件を満たす。