北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

辺 $BC$ 上の点は $$(-2,0)+s\{(3,1)-(-2,0)\}=(-2+5s,s)$$ と書ける。直線 $OA$ は $y=x$ であるから、交点では $s=-2+5s$ となり $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $$D=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。これは $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ に対応する点なので、$D$ は $BC$ の中点である。

また $A=(2,2)$ だから $D={\displaystyle \frac{1}{4}}A$ である。

(2) $D$ は $BC$ の中点であるから、1次変換の線形性より $f(D)$ は $f(B)$ と $f(C)$ を結ぶ辺の中点である。また $D={\displaystyle \frac{1}{4}}A$ なので $f(D)={\displaystyle \frac{1}{4}}f(A)$ である。

ここで、移された三角形の頂点を $$U=f(A),V=f(B),W=f(C)$$ とおく。上で見たように $$S=f(D)={\displaystyle \frac{V+W}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}U$$ である。

点 $P=(4,0)$ は、この正三角形の1つの頂点である。また $x$ 軸はその正三角形の面積を二等分している。正三角形で1つの頂点を通り面積を二等分する直線は、その頂点から反対側の辺の中点へ引いた中線である。

もし $P=V$ であったとする。このとき $x$ 軸は頂点 $V=P$ から辺 $UW$ の中点へ向かう中線であるから、$U,W$ は $$U=(m,h),W=(m,-h)(h\mathrm{\ne }0)$$ と書ける。すると $$S={\displaystyle \frac{V+W}{2}}=({\displaystyle \frac{4+m}{2}},-{\displaystyle \frac{h}{2}})$$ である。一方 $S={\displaystyle \frac{1}{4}}U$ なので $$S=({\displaystyle \frac{m}{4}},{\displaystyle \frac{h}{4}})$$ でもある。第2成分を比べると $$-{\displaystyle \frac{h}{2}}={\displaystyle \frac{h}{4}}$$ となり、$h=0$ を導く。これは正三角形がつぶれていないことに反する。したがって $P=V$ は不可能である。$P=W$ の場合も同様に不可能である。

よって残る可能性は $f(A)=U=P=(4,0)$ だけである。

よって $$S=f(D)={\displaystyle \frac{1}{4}}f(A)={\displaystyle \frac{1}{4}}(4,0)=(1,0)$$ である。

(3) $S=(1,0)$ は、$P=(4,0)$ と反対側の辺の中点である。したがって正三角形の高さは $PS=3$ である。正三角形の一辺を $r$ とすると $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r=3$$ だから $r=2\sqrt{3}$ であり、反対側の辺の半分の長さは $\sqrt{3}$ である。よって残り2頂点は $(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$ である。

まず $$f(B)=(1,\sqrt{3}),f(C)=(1,-\sqrt{3})$$ とする。行列を$$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とおくと、$f(A)=P$、$f(B)=(1,\sqrt{3})$ から$$X\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right),X\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$$である。第1成分について $2a+2b=4,3a+b=1$ より $$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。第2成分について $$2c+2d=0,3c+d=\sqrt{3}$$ より $$c={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},d=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって$$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$である。

上下を入れ替えた場合、すなわち $$f(B)=(1,-\sqrt{3}),f(C)=(1,\sqrt{3})$$ の場合には、第1成分は同じで第2成分の符号だけが反対になる。よって$$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$である。

像の3頂点を $U,V,W$ と置き、$D=A\mathrm{/}4=(B+C)\mathrm{/}2$ から $S=U\mathrm{/}4=(V+W)\mathrm{/}2$ を得る。面積二等分線とこのベクトル関係で $U=P$ を確定し、最後は行列積 $X=[UV][AB{]}^{-1}$ で2通りを同時に計算する。

(1) $${\displaystyle \frac{B+C}{2}}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}A$$であり、この点は $BC$ と $OA$ の両方にある。よって$$D=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$は $BC$ の中点である。

(2) $$U=f(A),V=f(B),W=f(C)$$とおく。線形性から$$S=f(D)={\displaystyle \frac{1}{4}}U={\displaystyle \frac{V+W}{2}}\mathrm{.}$$したがって $S$ は正三角形 $UVW$ の辺 $VW$ の中点である。

もし $P$ が $V$ または $W$ なら、$x$ 軸による面積二等分線はその頂点と反対辺の中点を通る。
一方、上式は $S$ が辺 $VW$ 上にあり、同時に $U$ と原点を結ぶ直線上にあることを示す。
この二つを満たすと正三角形の高さが0になってしまう。よって$$U=f(A)=P=(4,0),S={\displaystyle \frac{1}{4}}P=(1,0)\mathrm{.}$$(3)

$PS=3$ は正三角形の高さだから、残る2頂点は$$V=(1,\epsilon \sqrt{3}),W=(1,-\epsilon \sqrt{3})(\epsilon =\pm 1)\mathrm{.}$$また$$[AB{]}^{-1}={\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =[UV][AB{]}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& \epsilon \sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\epsilon \sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\epsilon \sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$$\epsilon =1,-1$ の2通りが求める行列である。