北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $0\leqq x\leqq 1$ で $p>0$ だから $0\leqq x^p\leqq 1$ である。また $(1-x{)}^q\geqq 0$ なので $$0\leqq x^p(1-x{)}^q\leqq (1-x{)}^q$$ である。したがって $${\int }_0^1{x}^p(1-x{)}^{q}dx\leqq {\int }_0^1(1-x{)}^{q}dx$$ である。右辺は$${\int }_0^1(1-x{)}^{q}dx={[-{\displaystyle \frac{(1-x{)}^{q+1}}{q+1}}]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{q+1}}$$だから $${\int }_0^1{x}^p(1-x{)}^{q}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{q+1}}$$ が示された。

(2)
定義式で $x=nt$ とおくと，$dx=ndt$ であり，$x=0$ から $x=n$ は $t=0$ から $t=1$ に対応する。したがって$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^{s+1}}}{\int }_0^n{x}^s{(1-{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n}dx={\int }_0^1{t}^s(1-t{)}^{n}dt$$である。

部分和を $$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n$$ とおく。有限和なので積分と和を入れ替えて $$S_N={\int }_0^1{t}^s\sum _{n=1}^N(1-t{)}^{n}dt$$ である。ここで $$\sum _{n=1}^N(1-t{)}^n={\displaystyle \frac{(1-t)\{1-(1-t{)}^N\}}{t}}$$ だから $$S_N={\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t)\{1-(1-t{)}^N\}dt$$ である。

候補となる極限値は $${\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t)dt$$ である。実際，この積分との差は $${\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t{)}^{N+1}dt$$ である。$s>1$ なので $s-1>0$ であり，(1)を $p=s-1$，$q=N+1$ に用いると $$0\leqq {\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t{)}^{N+1}dt\leqq {\displaystyle \frac{1}{N+2}}$$ である。これは $N\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。したがって $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n={\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t)dt$$ である。

最後に$${\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t)dt={\int }_0^1(t^{s-1}-t^s)dt={\displaystyle \frac{1}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s+1}}={\displaystyle \frac{1}{s(s+1)}}$$を得る。

置換後の$a_n$を、2つの積分$c_n-c_{n+1}$の差として表す。部分和が望遠鏡式に消えるので、残項だけを(1)で0へ押さえる。無限和と積分を直接交換せずに完結する。

(1)

$0\leqq x\leqq 1$では$0\leqq x^p\leqq 1$であるから$$0\leqq x^p(1-x{)}^q\leqq (1-x{)}^q\mathrm{.}$$よって$${\int }_0^1{x}^p(1-x{)}^{q}dx\leqq {\int }_0^1(1-x{)}^{q}dx={\displaystyle \frac{1}{q+1}}\mathrm{.}$$(2)

定義式で$x=nt$と置くと$$a_n={\int }_0^1{t}^s(1-t{)}^{n}dt\mathrm{.}$$ここで$$c_n={\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t{)}^{n}dt$$と置く。被積分関数の差を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_n-c_{n+1}}& {\displaystyle ={\int }_0^1{t}^{s-1}\{(1-t{)}^n-(1-t{)}^{n+1}\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{t}^s(1-t{)}^{n}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって部分和は$$\sum _{n=1}^N{a}_n=c_1-c_{N+1}\mathrm{.}$$$s>1$なので(1)を$p=s-1,q=N+1$に用いると$$0\leqq c_{N+1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{N+2}}⟶0.$$よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=c_1\mathrm{.}$$最後に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_1}& {\displaystyle ={\int }_0^1{t}^{s-1}(1-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{s(s+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$