北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$f(x)$ は1次式なので $f(x)=ax+b$ とおく。

まず$$F(1)={\int }_1^5(at+b)dt$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(1)}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2+bt]}_1^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(25-1)+b(5-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12a+4b}\end{array}$$である。$F(1)=2$ より $12a+4b=2$ すなわち $3a+b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。

次に$$I(x)={\int }_1^{2x+3}f(t)dt$$とおくと $F(x)=xI(x)$ である。よって $F^{\mathrm{\prime }}(x)=I(x)+x{I}^{\mathrm{\prime }}(x)$ である。ここで $I^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(2x+3)$ だが、$x=0$ を代入すると第2項 $x{I}^{\mathrm{\prime }}(x)$ は消える。したがって$$F^{\mathrm{\prime }}(0)=I(0)={\int }_1^3(at+b)dt$$である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(0)}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2+bt]}_1^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(9-1)+b(3-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a+2b}\end{array}$$である。$F^{\mathrm{\prime }}(0)=-10$ より $4a+2b=-10$ すなわち $2a+b=-5$ である。

連立方程式$$\{\begin{array}{l}3a+b={\displaystyle \frac{1}{2}},\\ 2a+b=-5\end{array}$$を解く。上の式から下の式を引くと $$a={\displaystyle \frac{11}{2}}$$ であり、これを $2a+b=-5$ に代入して $b=-16$ を得る。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{11}{2}}x-16$$ である。

$f(x)=ax+b$を定積分してから$F(x)$全体を3次式として展開する。すると$F(1)$と$F^{\mathrm{\prime }}(0)$は係数を読むだけになり、2本の一次方程式が得られる。

$f(x)=ax+b$とおく。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{2x+3}(at+b)dt}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2+bt]}_1^{2x+3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a{x}^2+(6a+2b)x+4a+2b\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle =x{\int }_1^{2x+3}f(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a{x}^3+(6a+2b)x^2+(4a+2b)x\mathrm{.}}\end{array}$$条件$F(1)=2$から$$12a+4b=2,\text{すなわち}3a+b={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$また$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=6a{x}^2+2(6a+2b)x+4a+2b$$なので、$F^{\mathrm{\prime }}(0)=-10$から$$4a+2b=-10,\text{すなわち}2a+b=-5.$$2式の差を取ると$$a={\displaystyle \frac{11}{2}},$$さらに$2a+b=-5$へ代入して$b=-16$を得る。よって$$f(x)={\displaystyle \frac{11}{2}}x-16$$である。