北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

関数 $$h(t)={\displaystyle \frac{\log t}{t}}$$ を考える。$t>0$ で $$h^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}}$$ である。したがって $h(t)$ は $0<t<e$ で増加し，$t>e$ で減少する。特に $t=e$ で最大値 $h(e)={\displaystyle \frac{1}{e}}$ をとる。

条件は，すべての $2\leqq x\leqq y$ について $h(y)\leqq Ch(x)$ が成り立つことである。

まず $x\geqq e$ の場合，$y\geqq x$ では $h(t)$ は減少しているから $h(y)\leqq h(x)$ である。したがってこの範囲では $C=1$ で十分である。

次に $2\leqq x\leqq e$ の場合，$y\geqq x$ における $h(y)$ の最大値は $y=e$ のときの $1\mathrm{/}e$ である。よって必要な条件は $${\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq C{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ である。すなわち $$C\geqq {\displaystyle \frac{x}{e\log x}}$$ である。 $2\leqq x\leqq e$ では $$h(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ が増加するので，${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}e}{h(x)}}$ は $x=2$ のとき最大となる。したがって最小の $C$ は $$C={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}e}{\log 2\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{e\log 2}}$$ である。

必要な定数は$\log y\mathrm{/}y$と$\log x\mathrm{/}x$の比の最大値である。$h(t)=\log t\mathrm{/}t$の増減から、$x\leqq e$では$y=e$、$x\geqq e$では$y=x$が最も厳しい。残った$x$の最大値を端点で決める。

条件を満たす最小の$C$は$$C_{\min }=\underset{2\leqq x\leqq y}{\max }{\displaystyle \frac{\log y\mathrm{/}y}{\log x\mathrm{/}x}}$$である。$$h(t)={\displaystyle \frac{\log t}{t}}$$と置くと$$h^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}}\mathrm{.}$$したがって$h$は$2\leqq t\leqq e$で増加し、$t\geqq e$で減少する。

$2\leqq x\leqq e$を固定したとき、$y\geqq x$における分子$h(y)$の最大値は$h(e)=1\mathrm{/}e$である。よって比の最大値は$${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}e}{h(x)}}={\displaystyle \frac{x}{e\log x}}\mathrm{.}$$この範囲では$h(x)$が増加するので、この比は$x=2$で最大となり$${\displaystyle \frac{2}{e\log 2}}$$を得る。

$x\geqq e$では$y\geqq x$に対して$h(y)\leqq h(x)$だから、比は高々1である。また$${\displaystyle \frac{2}{e\log 2}}>1$$なので、全体の最大値は前者である。したがって$$C_{\min }={\displaystyle \frac{2}{e\log 2}}\mathrm{.}$$等号は$x=2,y=e$で成立する。