北海道大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $x>0$ において $x-\log x>0$ である。実際、$h(x)=x-\log x$ とおけば $h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-1\mathrm{/}x$ で、$x=1$ で最小値 $h(1)=1$ をとる。したがって、求める面積は $$S={\int }_a^{a+1}(x-\log x)dx$$ である。 $$\int (x-\log x)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\log x+x$$ だから $$S={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\log x+x]}_a^{a+1}$$ である。よって $$S=a+{\displaystyle \frac{3}{2}}+a\log a-(a+1)\log (a+1)$$ となる。

(2)

(1) の式を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=1+\log a+1-\{\log (a+1)+1\}=1+\log {\displaystyle \frac{a}{a+1}}$$ である。したがって $S^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ は $$\log {\displaystyle \frac{a}{a+1}}=-1$$ すなわち $${\displaystyle \frac{a}{a+1}}=e^{-1}$$ である。これを解いて $ea=a+1$ より $$a={\displaystyle \frac{1}{e-1}}$$ を得る。

また $$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{a+1}}={\displaystyle \frac{1}{a(a+1)}}>0$$ であるから、この点で確かに最小となる。

(3) $a=1\mathrm{/}(e-1)$ とおく。このとき $$a+1={\displaystyle \frac{e}{e-1}}$$ である。(1)の式に代入すると$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{e-1}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{e-1}}\log {\displaystyle \frac{1}{e-1}}-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}\log {\displaystyle \frac{e}{e-1}}$$である。

ここで $$\log {\displaystyle \frac{1}{e-1}}=-\log (e-1),\log {\displaystyle \frac{e}{e-1}}=1-\log (e-1)$$ だから$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{e-1}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{\log (e-1)}{e-1}}-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}\{1-\log (e-1)\}$$である。整理すると $$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2}}+\log (e-1)$$ となる。したがって $k=e-1$ である。

面積を長さ1の移動区間上の積分と見て、端点差による微分で最小点を直接求める。

(1) $$h(x)=x-\log x$$とおく。$x>0$ で $h(x)\geqq 1$ だから$$S(a)={\int }_a^{a+1}h(x)dx\mathrm{.}$$したがって$$S(a)=a+{\displaystyle \frac{3}{2}}+a\log a-(a+1)\log (a+1)\mathrm{.}$$(2)

移動区間の端点だけを比較する。

Leibnizの公式より$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=h(a+1)-h(a)=1+\log {\displaystyle \frac{a}{a+1}}\mathrm{.}$$また$$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1}{a(a+1)}}>0.$$よって唯一の停留点が最小点であり、$${\displaystyle \frac{a}{a+1}}={\displaystyle \frac{1}{e}}$$から$$a={\displaystyle \frac{1}{e-1}}\mathrm{.}$$(3)
このとき$$a+1={\displaystyle \frac{e}{e-1}},\log (a+1)=1-\log (e-1),\log a=-\log (e-1)\mathrm{.}$$これを (1) の式へ代入して$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2}}+\log (e-1)\mathrm{.}$$したがって$$k=e-1.$$