北海道大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

回転体の体積は$$V(a)=\pi {\int }_a^{a+1}{\displaystyle \frac{dx}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}}$$である。ここで $$\varphi (x)={\displaystyle \frac{1}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}}$$ とおく。

まず $\varphi (x)$ の形を調べる。$x=2+s$ とおくと $$e^x+e^{4-x}=e^{2+s}+e^{2-s}=e^2(e^s+e^{-s})$$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x=2$ を中心に左右対称である。また $s>0$ のとき $${\displaystyle \frac{d}{ds}}(e^s+e^{-s})=e^s-e^{-s}>0$$ なので、$e^s+e^{-s}$ は $s>0$ で増加する。よって $\varphi (x)$ は $x=2$ で最大となり、$x=2$ から離れるほど小さくなる。

次に $V(a)$ を微分する。積分区間の両端が $a$ と $a+1$ なので $$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi \{\varphi (a+1)-\varphi (a)\}$$ である。 $a<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ のとき $\mathrm{\mid }a+1-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }$ であるから、$a+1$ の方が $2$ に近い。したがって $\varphi (a+1)>\varphi (a)$ となり $V^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。

一方、$a>{\displaystyle \frac{3}{2}}$ のときは $\mathrm{\mid }a+1-2\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }$ であるから $\varphi (a+1)<\varphi (a)$ となり $V^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ である。$a={\displaystyle \frac{3}{2}}$ では両端 $a$ と $a+1$ が中心 $2$ から等距離にあるので $\varphi (a+1)=\varphi (a)$ である。

よって $V(a)$ は $a<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ で増加し、$a>{\displaystyle \frac{3}{2}}$ で減少する。したがって最大となるのは $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。

被積分関数を$u=e^{2x-4}$で置換して定積分を明示的に計算する。$z=e^{2a-4}>0$と置けば、最大化は$z$と$1\mathrm{/}z$に対する相加相乗平均へ帰着する。

体積は$$V(a)=\pi {\int }_a^{a+1}{\displaystyle \frac{dx}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}}$$である。ここで$$u=e^{2x-4}$$と置くと$$dx={\displaystyle \frac{du}{2u}},{\displaystyle \frac{1}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}}=e^{-4}{\displaystyle \frac{u}{(1+u{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって$$\int {\displaystyle \frac{dx}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{e^{-4}}{2(1+e^{2x-4})}}+C\mathrm{.}$$よって$$V(a)={\displaystyle \frac{\pi e^{-4}}{2}}\{{\displaystyle \frac{1}{1+e^{2a-4}}}-{\displaystyle \frac{1}{1+e^{2a-2}}}\}\mathrm{.}$$$z=e^{2a-4}>0$と置くと、定数部分を除いて最大にすべき量は$${\displaystyle \frac{1}{1+z}}-{\displaystyle \frac{1}{1+e^{2}z}}={\displaystyle \frac{(e^2-1)z}{(1+z)(1+e^{2}z)}}$$である。分子の正の定数を除けば、$${\displaystyle \frac{(1+z)(1+e^{2}z)}{z}}={\displaystyle \frac{1}{z}}+1+e^2+e^{2}z$$を最小にすればよい。相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{1}{z}}+e^{2}z\geqq 2e$$で、等号は$1\mathrm{/}z=e^{2}z$、すなわち$z=e^{-1}$のときに成り立つ。

したがって$$e^{2a-4}=e^{-1},2a-4=-1,$$より$$a={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。