北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

定義より$$I(x)=F(3x)-F(x)={\int }_x^{3x}{\displaystyle \frac{dt}{t^2+a}}$$である。ここで $$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$$ とする。置換 $$t=\sqrt{a}\tan u$$ を用いると $$dt=\sqrt{a}{\sec }^{2}udu,t^2+a=a({\tan }^{2}u+1)=a{\sec }^{2}u$$ であるから $${\displaystyle \frac{dt}{t^2+a}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}du$$ となる。

端点は $${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{a}}}=\sqrt{3}$$ より $$u={\displaystyle \frac{\pi }{6}},u={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。したがって$$I\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}du={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{\pi }{6\sqrt{a}}}$$である。

(2) $I(x)=F(3x)-F(x)$ を微分すると $I^{\mathrm{\prime }}(x)=3F^{\mathrm{\prime }}(3x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+a}}$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{9x^2+a}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2+a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(x^2+a)-(9x^2+a)}{(9x^2+a)(x^2+a)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a-6x^2}{(9x^2+a)(x^2+a)}}}\end{array}$$である。分母は常に正なので、符号は $2a-6x^2=2(a-3x^2)$ で決まる。

したがって $x>0$ では $$0<x<\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$$ で $I^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$$x>\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$$ で $I^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。よって正の $x$ における最大点は $$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$$ である。

なお $x<0$ のときは、区間 $[3x,x]$ が負の側にあり$$I(x)={\int }_x^{3x}{\displaystyle \frac{dt}{t^2+a}}<0$$となる。正の側では $I(x)>0$ なので、全体の最大値は上の正の点で生じる。

問題では $x=2$ で最大値をとるようにしたいから $$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}=2$$ である。よって $a=12$ である。

$t=\sqrt{a}\tan u$ により積分を角度差に直す。(2)では $\tan (\psi -\varphi )=2\sqrt{a}x\mathrm{/}(a+3x^2)$ を作り、相加相乗平均で角度差が最大となる $x$ を微分なしで求める。

(1) $$I(x)={\int }_x^{3x}{\displaystyle \frac{dt}{t^2+a}}\mathrm{.}$$$$x=\sqrt{a\mathrm{/}3}$$ とし、$$t=\sqrt{a}\tan u$$ とおく。端点は$$u={\displaystyle \frac{\pi }{6}},u={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$に移り、$$I\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}du={\displaystyle \frac{\pi }{6\sqrt{a}}}\mathrm{.}$$(2)

$x>0$ とし、$$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{a}}},\tan \psi ={\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{a}}},0<\varphi <\psi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$とおく。同じ置換により$$I(x)={\displaystyle \frac{\psi -\varphi }{\sqrt{a}}}\mathrm{.}$$差の公式から$$\tan (\psi -\varphi )={\displaystyle \frac{2\sqrt{a}x}{a+3x^2}}\mathrm{.}$$$0<\psi -\varphi <\pi \mathrm{/}2$ なので、$I(x)$ の最大化は右辺の最大化と同じである。
相加相乗平均より$$a+3x^2\geqq 2\sqrt{3a}x,$$等号は $a=3x^2$ のときに成り立つ。したがって正の側での最大点は$$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}\mathrm{.}$$$x<0$ では $I(x)<0$ だから、これは全実数上の最大点である。最大点を $x=2$ にする条件は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}=2,$$よって$$a=12.$$