北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

2つの曲線の $y$ 座標の差を、上の式から下の式を引いて求めると $\{a{x}^3-(2a+1)x^2+ax+1\}-\{(a-2)x^3+3x^2-3ax+1\}$ $$=2x^3-2(a+2)x^2+4ax=2x(x-a)(x-2)$$ である。 $0<a<2$ だから、$0<x<a$ では $2x(x-a)(x-2)>0$ であり、$a<x<2$ では $2x(x-a)(x-2)<0$ である。したがって囲まれる面積は $$S={\int }_0^{a}2x(x-a)(x-2)dx-{\int }_a^{2}2x(x-a)(x-2)dx$$ である。

ここで $$\int 2x(x-a)(x-2)dx={\displaystyle \frac{x^4}{2}}-{\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}}{x}^3+2a{x}^2$$ である。これを代入すると $${\int }_0^{a}2x(x-a)(x-2)dx=-{\displaystyle \frac{a^4}{6}}+{\displaystyle \frac{2a^3}{3}}$$ であり、また $${\int }_a^{2}2x(x-a)(x-2)dx={\displaystyle \frac{a^4}{6}}-{\displaystyle \frac{2a^3}{3}}+{\displaystyle \frac{8a-8}{3}}$$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{-a^4+4a^3-8a+8}{3}}$$ である。

(2)

(1) で得た式を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{-4a^3+12a^2-8}{3}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}(a-1)(a^2-2a-2)$$ である。$0<a<2$ にある臨界点は $a=1$ だけである。実際、$a^2-2a-2=0$ の解は $a=1\pm \sqrt{3}$ であり、この範囲には入らない。 $0<a<1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)<0$、$1<a<2$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ であるから、$S$ は $a=1$ で最小となる。したがって $a=1$ である。

左右の符号付き面積と全区間積分を組み合わせて $S$ を求め、$a=1+h$ の平方評価で最小を決める。

(1)

2つの面積を別々に求める。

2曲線の差は$$D(x)=2x(x-a)(x-2)\mathrm{.}$$$0<a<2$ では $D(x)>0$ が $0<x<a$、$D(x)<0$ が $a<x<2$ で成り立つ。$$I_1={\int }_0^{a}D(x)dx={\displaystyle \frac{a^3(4-a)}{6}}$$であり、全区間の符号付き面積は$$I_1+{\int }_a^{2}D(x)dx={\int }_0^{2}D(x)dx={\displaystyle \frac{8(a-1)}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =I_1-{\int }_a^{2}D(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2I_1-{\displaystyle \frac{8(a-1)}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-a^4+4a^3-8a+8}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

中心 $a=1$ からのずれで評価する。$$a=1+h(-1<h<1)$$とおくと$$S=1+2h^2-{\displaystyle \frac{h^4}{3}}=1+h^2(2-{\displaystyle \frac{h^2}{3}})\mathrm{.}$$$-1<h<1$ より括弧内は正だから$$S\geqq 1.$$等号は $h=0$、すなわち$$a=1$$のときだけ成立する。