北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

円 $C_1$ の中心を $O=(0,0)$，円 $C_2$ の中心を $A=(1,2)$ とする．このとき $$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$ である．

(1) $C_1$ 上または内部の任意の点を $X$ とすると，$OX\leqq 1$ である．三角不等式より $$AX\leqq AO+OX\leqq \sqrt{5}+1$$ であり，仮定 $R>1+\sqrt{5}$ から $AX<R$ となる．したがって $C_1$ 上およびその内部の点はすべて $C_2$ の内部にある．よって円 $C_1$ は円 $C_2$ の内部に含まれる．

(2) 点 $P$ から $C_1$ に引いた接線の接点の1つを $T$ とする．半径と接線は接点で直交するから $$OT\perp PT,OT=1,OP=d$$ である．$OP$ と接線 $PT$ のなす角を $\varphi$ とすると，直角三角形 $OPT$ において $$\sin \varphi ={\displaystyle \frac{OT}{OP}}={\displaystyle \frac{1}{d}}$$ である．2本の接線は $OP$ に関して対称なので，2本の接線のなす角は $\theta =2\varphi$ となる．したがって$$\cos \theta =\cos 2\varphi =1-2{\sin }^2\varphi =1-{\displaystyle \frac{2}{d^2}}={\displaystyle \frac{d^2-2}{d^2}}$$である．

(3) $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ となることは，(2) の式から $${\displaystyle \frac{d^2-2}{d^2}}=0$$ すなわち $d=\sqrt{2}$ と同値である．したがって，原点中心・半径 $\sqrt{2}$ の円と $C_2$ が交わるための条件を求めればよい．

この2つの円の中心間距離は $\sqrt{5}$，半径はそれぞれ $\sqrt{2}$ と $R$ である．交点が存在する条件は $$\mathrm{\mid }R-\sqrt{2}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{5}\leqq R+\sqrt{2}$$ である．ここで仮定 $R>1+\sqrt{5}$ より $R>\sqrt{2}$ であるから，左側は $R-\sqrt{2}\leqq \sqrt{5}$ すなわち $R\leqq \sqrt{5}+\sqrt{2}$ となる．また $\sqrt{5}\leqq R+\sqrt{2}$ はこの仮定のもとで自動的に成り立つ．よって求める条件は $$1+\sqrt{5}<R\leqq \sqrt{5}+\sqrt{2}$$ である．

単位円への2本の接線

点 $P=(u,v)$ を通る直線を単位法線 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ で表す．単位円への接線条件から2本の法線の内積を求め，角度の条件を座標式 $u^2+v^2=2$ に変換する．

点 $P=(u,v)$ とし，$d^2=u^2+v^2$ とおく．単位円 $C_1$ の接線は，単位法線$$\mathit{n}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$ を用いて$$\mathit{n}\cdot (x,y)=1$$と表せる．この直線が $P$ を通る条件は$$\mathit{n}\cdot P=1$$である．

(1)

$C_2$ の中心を $A=(1,2)$ とすると $OA=\sqrt{5}$ である．$C_1$ 上または内部の点 $X$ について$$AX\leqq AO+OX\leqq \sqrt{5}+1<R$$だから，$C_1$ は $C_2$ の内部に含まれる．

(2)

$P$ を通る2本の接線の単位法線を ${\mathit{n}}_1,{\mathit{n}}_2$ とする．
$P\mathrm{/}d$ を第1の単位ベクトルとする直交座標で考えると，$${\mathit{n}}_1={\displaystyle \frac{1}{d}}\mathit{e}+\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{d^2}}}{\mathit{e}}^{\perp },{\mathit{n}}_2={\displaystyle \frac{1}{d}}\mathit{e}-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{d^2}}}{\mathit{e}}^{\perp }\mathrm{.}$$したがって$${\mathit{n}}_1\cdot {\mathit{n}}_2={\displaystyle \frac{1}{d^2}}-(1-{\displaystyle \frac{1}{d^2}})={\displaystyle \frac{2-d^2}{d^2}}\mathrm{.}$$2直線の鋭角側のなす角は法線の鋭角側のなす角と同じである．本問の図では接線の内側の角を
$\theta$ としているので$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{d^2-2}{d^2}}\mathrm{.}$$(3)

$\theta =\pi \mathrm{/}2$ であるための必要十分条件は $d^2=2$，すなわち$$u^2+v^2=2$$である．これと$$(u-1{)}^2+(v-2{)}^2=R^2$$を同時に満たす点が存在すればよい．これは中心間距離 $\sqrt{5}$，半径 $\sqrt{2},R$ の2円が交わる条件$$\mathrm{\mid }R-\sqrt{2}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{5}\leqq R+\sqrt{2}$$に等しい．仮定 $R>1+\sqrt{5}$ と合わせて$$1+\sqrt{5}<R\leqq \sqrt{5}+\sqrt{2}$$を得る．