北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+1)}& {\displaystyle =a(x+1{)}^2+b(x+1)+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{x}^2+2ax+a+bx+b+c,}\\ {\displaystyle f(x-1)}& {\displaystyle =a(x-1{)}^2+b(x-1)+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{x}^2-2ax+a+bx-b+c}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+1)+f(x-1)-2f(x)}& {\displaystyle =(2a{x}^2+2a+2bx+2c)-2(a{x}^2+bx+c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a}\end{array}$$である。

(2)

(1) を $x=p$ に適用すると $f(p+1)+f(p-1)-2f(p)=2a$ である。$a<0$ だから $$f(p)>{\displaystyle \frac{f(p+1)+f(p-1)}{2}}$$ である。

集合 $\{f(p-1),f(p),f(p+1)\}$ は $\{p-2,p,p+2\}$ と一致している。この3つの数のうち、他の2つの平均より大きい値になり得るのは最大値 $p+2$ だけである。実際、$p-2$ は最小値なので不可能であり、$p$ なら他の2つ $p-2,p+2$ の平均が $p$ で、厳密な不等号に反する。よって $f(p)=p+2$ である。

残り2つの値は $p$ と $p-2$ であるから $f(p+1)+f(p-1)=2p-2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2a}& {\displaystyle =f(p+1)+f(p-1)-2f(p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2p-2)-2(p+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-6}\end{array}$$より $a=-3$ である。

(3) $f(p+1)=p$、$f(p)=p+2$ であるから $f(p+1)-f(p)=-2$ である。一方、$a=-3$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(p+1)-f(p)}& {\displaystyle =a\{(p+1{)}^2-p^2\}+b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-3(2p+1)+b}\end{array}$$である。よって $-3(2p+1)+b=-2$ から $b=6p+1$ を得る。

また $f(p)=p+2$ より $-3p^2+(6p+1)p+c=p+2$ である。整理して $3p^2+c=2$ すなわち $c=2-3p^2$ である。条件 $c>0$ と $p$ が整数であることから $2-3p^2>0$ であり、これを満たす整数は $p=0$ だけである。したがって $$b=1,c=2,p=0$$ である。

$p$ を中心に $h=x-p$ と置き、二次関数を $f(p+h)=a{h}^2+\lambda h+f(p)$ と表す。3値の大小と中央二階差から $f(p)$ と $a$ を決め、指定値を $h=\pm 1$ に代入して係数を戻す。

(1)

二次関数の中央二階差を展開すると$$f(x+1)+f(x-1)-2f(x)=2a\mathrm{.}$$(2)$$A=f(p-1),B=f(p),C=f(p+1)$$ とおくと$$A+C-2B=2a<0,$$すなわち $B>(A+C)\mathrm{/}2$ である。集合 $\{A,B,C\}$ は
$\{p-2,p,p+2\}$ に等しい。$B=p-2$ は上の不等式を満たさず、
$B=p$ なら残る2数の平均が $p$ となって等号になってしまう。よって$$f(p)=p+2.$$残る2値の和は $2p-2$ だから$$2a=(2p-2)-2(p+2)=-6,a=-3.$$(3)

$h=x-p$ とおけば、ある実数 $\lambda$ により$$f(p+h)=-3h^2+\lambda h+p+2$$と書ける。$f(p+1)=p$ を代入して$$-3+\lambda +p+2=p,\lambda =1.$$したがって$$f(x)=-3(x-p{)}^2+(x-p)+p+2.$$展開して$$b=6p+1,c=2-3p^2\mathrm{.}$$$p$ は整数で $c>0$ だから $2-3p^2>0$ より $p=0$。ゆえに$$p=0,b=1,c=2.$$このとき $f(-1)=-2,f(0)=2,f(1)=0$ で、指定条件を満たす。