北海道大学 2004年度 前期日程文系数学 第1問

$$x=a+{\displaystyle \frac{1}{a}},y=a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$$ である。まず $$x^2-y^2={(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2-{(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2=4$$ である。また $u=x^2+y^2$ とおくと、$$u={(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2+{(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2=2(a^2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$$である。$a>0$ より $a^2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}\geqq 2$ だから $u\geqq 4$ であり、等号は $a^2=1$、すなわち $a=1$ のときに成り立つ。

次に $x^8-y^8$ を $u$ で表す。 $$x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)$$ である。ここで $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=4u$$ である。また $$x^2{y}^2={\displaystyle \frac{(x^2+y^2{)}^2-(x^2-y^2{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{u^2-16}{4}}$$ だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^4+y^4}& {\displaystyle =(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^2-2\cdot {\displaystyle \frac{u^2-16}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u^2}{2}}+8.}\end{array}$$したがって $$x^8-y^8=4u({\displaystyle \frac{u^2}{2}}+8)=2u^3+32u$$ である。 $u\geqq 4$ において $2u^3+32u$ は $u$ とともに増加する。よって最小となるのは $u=4$、すなわち $a=1$ のときである。このとき $x=2,y=0$ なので、$x^8-y^8=2^8=256$ である。したがって、求める値は $$a=1,\text{最小値 }256$$ である。

最初から $v=a^2+a^{-2}$ とおき、$x^2=v+2$、$y^2=v-2$ と表す。差の4乗を展開すると $v$ の増加関数になるので、相加相乗平均の等号条件だけで最小値が決まる。

$v=a^2+a^{-2}$ とおく。相加相乗平均より$$v\geqq 2$$であり、等号は $a=1$ のときに限る。また$$x^2=v+2,y^2=v-2$$だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^8-y^8}& {\displaystyle =(v+2{)}^4-(v-2{)}^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16v^3+64v\mathrm{.}}\end{array}$$右辺は $v\geqq 2$ で狭義に増加する。したがって $v=2$、すなわち $a=1$ のとき最小となり、$$\min (x^8-y^8)=16\cdot 2^3+64\cdot 2=256$$である。