北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

床関数の定義より $[nc]\leqq nc<[nc]+1$ である。これを $nc-1<[nc]\leqq nc$ と書き直す。$c>1$ なので、正の数 $c$ で割って $$n-{\displaystyle \frac{1}{c}}<{\displaystyle \frac{[nc]}{c}}\leqq n$$ を得る。すなわち $n-{\displaystyle \frac{1}{c}}<a_n\leqq n$ である。$c>1$ より $0<1\mathrm{/}c<1$ だから $n-1<a_n\leqq n$ である。したがって $[a_n]$ は $n-1\text{または}n$ に等しい。

(2) $c$ が有理数であるとする。$c=r\mathrm{/}s$ と既約分数で表す。ただし $r,s$ は正の整数である。$n=s$ と取ると $$nc=s\cdot {\displaystyle \frac{r}{s}}=r$$ は整数である。したがって $[nc]=nc$ であり、$$a_n={\displaystyle \frac{[nc]}{c}}={\displaystyle \frac{nc}{c}}=n$$ となる。よって $[a_n]=n$ となる $n$ が存在する。

(3) $c$ が無理数であるとする。任意の自然数 $n$ について、もし $nc$ が整数なら $$c={\displaystyle \frac{nc}{n}}$$ は有理数になってしまう。これは仮定に反する。したがって $nc$ は整数ではない。

よって $[nc]<nc$ であるから $$a_n={\displaystyle \frac{[nc]}{c}}<n$$ である。一方、(1)の途中で得た不等式より $n-1<a_n$ である。したがって $n-1<a_n<n$ となるので $[a_n]=n-1$ である。

小数部分 $\{nc\}=nc-[nc]$ を導入すると $a_n=n-\{nc\}\mathrm{/}c$ と一行で表せる。有理数なら小数部分を0にでき、無理数なら0にならない、という同じ式から3問を統一的に示す。

$$\{x\}=x-[x](0\leqq \{x\}<1)$$と書く。このとき$$a_n={\displaystyle \frac{[nc]}{c}}={\displaystyle \frac{nc-\{nc\}}{c}}=n-{\displaystyle \frac{\{nc\}}{c}}\mathrm{.}$$(1)

$0\leqq \{nc\}<1$ かつ $c>1$ なので$$n-1<a_n\leqq n\mathrm{.}$$よって $[a_n]$ は $n-1$ または $n$ である。

(2)

$c=r\mathrm{/}s$ を既約分数とする。$n=s$ とすれば $nc=r$ は整数だから $\{nc\}=0$。したがって $a_n=n$ で、$[a_n]=n$ となる。

(3)

$c$ が無理数なら、自然数 $n$ に対して $nc$ は整数にならない。ゆえに$$0<\{nc\}<1$$であり、$$n-1<a_n<n\mathrm{.}$$したがってすべての $n$ で $[a_n]=n-1$ である。