北海道大学 2005年度 前期日程文系数学 第3問

解法1 $f(x)=x^2+ax+b$ であるから、$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{1}{n}}(\sum _{k=1}^n{k}^2+a\sum _{k=1}^{n}k+bn)$$である。和の公式を用いると$$\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}},\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$なので、$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{a(n+1)}{2}}+b$$となる。一方、$${\displaystyle \frac{1}{3}}f(n)={\displaystyle \frac{1}{3}}(n^2+an+b)$$ である。

したがって、すべての自然数 $n$ について $${\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{a(n+1)}{2}}+b={\displaystyle \frac{1}{3}}(n^2+an+b)$$ が成り立つ。左辺を係数が見える形にすると ${\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{a}{2}})n+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b$ である。右辺は ${\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^2+{\displaystyle \frac{a}{3}}n+{\displaystyle \frac{b}{3}}$ であるから、$n$ の係数比較より $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{a}{3}}$$ である。両辺を6倍して $3+3a=2a$ となるので $a=-3$ である。

次に定数項を比較すると $${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b={\displaystyle \frac{b}{3}}$$ であり、$a=-3$ を代入して $${\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}+b={\displaystyle \frac{b}{3}}$$ を得る。すなわち $$-{\displaystyle \frac{4}{3}}+b={\displaystyle \frac{b}{3}}$$ だから ${\displaystyle \frac{2}{3}}b={\displaystyle \frac{4}{3}}$ となり、$b=2$ である。したがって $f(x)=x^2-3x+2$ である。

十分性の確認

$f(k)=(k-1)(k-2)$ を和の公式へ戻すと$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(k)={\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}f(n)$$となる。

条件へ $n=1,2$ を代入し、$f(1)=f(2)=0$ を得る。最高次係数が1の2次式であることから、2つの根だけで整式を決定する。

条件を小さい $n$ から読む。$n=1$ を代入すると $f(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}f(1)$ であるから $f(1)=0$ である。次に $n=2$ を代入すると $${\displaystyle \frac{f(1)+f(2)}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}f(2)$$ であり、$f(1)=0$ より $${\displaystyle \frac{1}{2}}f(2)={\displaystyle \frac{1}{3}}f(2)$$ となる。したがって $f(2)=0$ である。 $f(x)$ は最高次係数が1の2次式で、$x=1,2$ を根にもつ。よって $$f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$ である。この $f(x)$ は解法1で得たものと一致する。