北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
この命題は真である。

背理法で示す。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数であると仮定し、これを $r$ とおく。すると $$r^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{6}$$ である。$r$ が有理数なら $r^2$ も有理数であるから、$2\sqrt{6}=r^2-5$ も有理数となる。したがって $\sqrt{6}$ が有理数となるが、これは問題文で用いてよいとされている $\sqrt{6}$ の無理数性に反する。よって $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数である。

(2)
この命題は偽である。

反例として $$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$ をとる。この $x$ は、もし有理数なら $\sqrt{5}=2x+1$ も有理数になってしまうので、無理数である。一方で $x^2+x=1$ が成り立つ。実際、$x$ は方程式 $X^2+X-1=0$ の解である。したがって、$x^2+x$ が有理数であっても $x$ が有理数とは限らない。

(3)
この命題は偽である。

反例として $$x=\sqrt{2},y=-\sqrt{2}$$ をとる。$x$、$y$ はともに無理数である。しかし $x+y=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ であり、これは有理数である。また $$x^2+y^2=(\sqrt{2}{)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2=2+2=4$$ も有理数である。したがって、$x+y$、$x^2+y^2$ のうち少なくとも一方が無理数であるとはいえない。

各命題の構造を見る。(1)では共役な式との積、(2)(3)では反例を生む一般的な作り方を示す。

(1)

真である。$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r$ が有理数だと仮定する。正数なので $r\mathrm{\ne }0$ であり、$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$$より $\sqrt{3}-\sqrt{2}=1\mathrm{/}r$ も有理数となる。2式を加えれば$$2\sqrt{3}=r+{\displaystyle \frac{1}{r}}$$が有理数となり、$\sqrt{3}$ の無理数性に反する。

(2)

偽である。より一般に、有理数 $q$ に対して$$x^2+x=q$$の解は$$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+4q}}{2}}$$である。$1+4q$ が有理数の平方でないように $q$ を選べば $x$ は無理数になる。例えば $q=1$ とすれば$$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$は無理数だが $x^2+x=1$ は有理数である。

(3)

偽である。正の有理数 $q$ で $\sqrt{q}$ が無理数となるものを選び、$$x=\sqrt{q},y=-\sqrt{q}$$とすればよい。実際、$x,y$ はともに無理数だが$$x+y=0,x^2+y^2=2q$$はいずれも有理数である。特に $q=2$ が反例を与える。