北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$1\mathrm{/}x$ の整数部分を $m$ とする。$x>0$ であるから $1\mathrm{/}x>0$ であり，$m$ は $0$ 以上の整数である。

小数部分が $x\mathrm{/}2$ に等しいので $${\displaystyle \frac{1}{x}}=m+{\displaystyle \frac{x}{2}}$$ と書ける。両辺に $2x$ を掛けると $2=2mx+x^2$ すなわち $x^2+2mx-2=0$ である。この二次方程式の解は $$x=-m\pm \sqrt{m^2+2}$$ であり，正の解は $$x=\sqrt{m^2+2}-m$$ である。

逆に，$m=0,1,2,\dots$ に対して $$x=\sqrt{m^2+2}-m$$ とおく。このとき $x>0$ であり，また $$x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{m^2+2}+m}}\leqq \sqrt{2}<2$$ だから $$0\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}<1$$ である。さらに二次方程式を満たすので $${\displaystyle \frac{1}{x}}=m+{\displaystyle \frac{x}{2}}$$ が成り立つ。右辺の $x\mathrm{/}2$ は $[0,1)$ に入っているから，$m$ が整数部分，$x\mathrm{/}2$ が小数部分である。

したがって求める正の数は $$x=\sqrt{m^2+2}-m(m=0,1,2,\dots )$$ である。

$1\mathrm{/}x$ の整数部分を $m$ と固定し、整数部分の定義を表す不等式と、与えられた小数部分の等式を同時に解く。得られた候補が本当に同じ整数部分を持つことまで確認する。

${\displaystyle \frac{1}{x}}$ の整数部分を $m$ とすると$$m\leqq {\displaystyle \frac{1}{x}}<m+1,m=0,1,2,\dots$$である。小数部分が $x\mathrm{/}2$ だから$${\displaystyle \frac{1}{x}}-m={\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{.}$$よって$$x^2+2mx-2=0.$$$x>0$ より、候補は$$x=\sqrt{m^2+2}-m$$に限られる。

残るのは整数部分の確認である。上の方程式から$${\displaystyle \frac{1}{x}}=m+{\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{.}$$また$$0<x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{m^2+2}+m}}\leqq \sqrt{2}<2$$なので$$0<{\displaystyle \frac{x}{2}}<1.$$したがって $m\leqq 1\mathrm{/}x<m+1$ が確かに成り立ち、$m$ は $1\mathrm{/}x$ の整数部分である。逆もすべて確認できたので、求める正の数は$$x=\sqrt{m^2+2}-m(m=0,1,2,\dots )$$である。