北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

内接円が辺 $BC$ と接する点を $D$ とする。半径が1であるから、$OD\perp BC$ である。直角三角形 $OBD$ では $$\mathrm{\angle }OBD={\displaystyle \frac{\beta }{2}},OD=1$$ である。したがって $$BD=\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}$$ である。同じように、直角三角形 $OCD$ から $$CD=\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$$ である。よって $$BC=\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$$ である。

(2) $A=\pi -\beta -\gamma$ である。外接円の半径を $r$ とすると、正弦定理より $BC=2r\sin A$ である。ここで $$\sin A=\sin (\pi -\beta -\gamma )=\sin (\beta +\gamma )$$ だから、(1)の結果を代入して $$r={\displaystyle \frac{\cot (\beta \mathrm{/}2)+\cot (\gamma \mathrm{/}2)}{2\sin (\beta +\gamma )}}$$ である。外接円の中心が三角形の内部にあるという条件は三角形が鋭角であることを意味し、この式の分母が正の長さとして使える範囲を保証している。

(3)

内接円の中心を $O$ とし、辺 $AB,BC,CA$ への接点をそれぞれ考える。頂点 $A$ から接点までの長さを $X$、頂点 $B$ から接点までの長さを $Y$、頂点 $C$ から接点までの長さを $Z$ とする。

半径が1なので、直角三角形から $$X=\cot {\displaystyle \frac{A}{2}},Y=\cot {\displaystyle \frac{B}{2}},Z=\cot {\displaystyle \frac{C}{2}}$$ である。一方、同じ直角三角形で $$O{A}^2=1+X^2,O{B}^2=1+Y^2,O{C}^2=1+Z^2$$ だから $$X=\sqrt{O{A}^2-1},Y=\sqrt{O{B}^2-1},Z=\sqrt{O{C}^2-1}$$ とおく。

接線の長さは同じ頂点から引いたものが等しいので、辺の長さは $$BC=Y+Z,CA=Z+X,AB=X+Y$$ である。また、内接円の半径が1であるから、面積 $\mathrm{\Delta }$ は半周長に等しく、$\mathrm{\Delta }=X+Y+Z$ である。

外接円の半径を $r$ とすると $$r={\displaystyle \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4\mathrm{\Delta }}}$$ である。したがって $$r={\displaystyle \frac{(X+Y)(Y+Z)(Z+X)}{4(X+Y+Z)}}$$ ただし $$X=\sqrt{O{A}^2-1},Y=\sqrt{O{B}^2-1},Z=\sqrt{O{C}^2-1}$$ である。

内接円半径と外接円半径の半角公式を使う。(3) は $\sin (A\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}OA$ を代入し、距離の積へ直結させる。

(1)
内接円と $BC$ の接点を $D$、内心を $O$ とする。半径が1だから$$BD=\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}},CD=\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$したがって$$BC=\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$(2)

内接円半径と外接円半径の恒等式を使う。

外接円半径を $R$ とする。三角形では$$1=4R\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$$が成り立つ。ここで$$A=\pi -\beta -\gamma ,\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{\beta +\gamma }{2}}$$だから$$R={\displaystyle \frac{1}{4\cos {\displaystyle \frac{\beta +\gamma }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}}}\mathrm{.}$$半角公式で整理すると$$R={\displaystyle \frac{\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}}{2\sin (\beta +\gamma )}}\mathrm{.}$$(3)

頂点と内心の距離を直接使う。

内心 $O$ から辺へ下ろした垂線の長さは1である。したがって$$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{1}{OA}},\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{1}{OB}},\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{1}{OC}}\mathrm{.}$$これを$$1=4R\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$$へ代入すると$$R={\displaystyle \frac{OA\cdot OB\cdot OC}{4}}\mathrm{.}$$問題の記号に合わせれば$$r={\displaystyle \frac{OA\cdot OB\cdot OC}{4}}\mathrm{.}$$