北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$y={\int }_1^{x}f(t)dt$$とおく．このとき $y^{\mathrm{\prime }}=f(x)$ であり，与えられた式は$${\int }_1^{x}tf(t)dt+x{\int }_1^{x}f(t)dt=4x-4$$すなわち$${\int }_1^{x}tf(t)dt+xy=4x-4$$と書ける．両辺を $x$ で微分すると，第1項は$${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_1^{x}tf(t)dt=xf(x)$$であり，第2項は $${\displaystyle \frac{d}{dx}}(xy)=y+x{y}^{\mathrm{\prime }}=y+xf(x)$$ である．したがって $xf(x)+y+xf(x)=4$ となる．$f(x)=y^{\mathrm{\prime }}$ より，求める微分方程式は $2x{y}^{\mathrm{\prime }}+y=4$ である．

(2) $x>0$ なので，(1) の式を $2x$ で割ると $$y^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}y={\displaystyle \frac{2}{x}}$$ である．ここで$$(\sqrt{x}y{)}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{x}{y}^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}y=\sqrt{x}(y^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}y)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}$$となる．よって $1$ から $x$ まで積分して$$\sqrt{x}y-y(1)={\int }_1^x{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{t}}}dt=4(\sqrt{x}-1)$$である．定義から $y(1)=0$ なので $$\sqrt{x}y=4\sqrt{x}-4$$ となり，$$y=4-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}$$ を得る．したがって $f(x)=y^{\mathrm{\prime }}=2x^{-3\mathrm{/}2}$ である．

最後に確認しておく．$f(t)=2t^{-3\mathrm{/}2}$ ならば$${\int }_1^{x}f(t)dt=4-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}},{\int }_1^{x}tf(t)dt=4(\sqrt{x}-1)$$であるから$${\int }_1^x(t+x)f(t)dt=4(\sqrt{x}-1)+x(4-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}})=4x-4$$となり，確かに条件を満たす．

与式を一度微分して得る関係をさらに微分し，$f$ 自身の微分方程式を作る．初期値は最初の微分式へ $x=1$ を代入して決め，最後に元の積分方程式で検算する．

(1)

与式を$${\int }_1^{x}tf(t)dt+x{\int }_1^{x}f(t)dt=4x-4$$と書く．両辺を微分すると$$2xf(x)+{\int }_1^{x}f(t)dt=4.$$$$y={\int }_1^{x}f(t)dt$$とおけば $y^{\mathrm{\prime }}=f(x)$ だから$$2x{y}^{\mathrm{\prime }}+y=4.$$(2)

上で得た式をさらに微分すると$$2x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+3f(x)=0.$$したがって$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}=-{\displaystyle \frac{3}{2x}}$$であり，$$f(x)=C{x}^{-3\mathrm{/}2}$$と書ける．最初の微分式へ $x=1$ を代入すると，積分項は0なので$$2f(1)=4.$$よって $C=f(1)=2$ であり$$f(x)=2x^{-3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$実際，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^x(t+x)2t^{-3\mathrm{/}2}dt}& {\displaystyle ={\int }_1^{x}2t^{-1\mathrm{/}2}dt+2x{\int }_1^x{t}^{-3\mathrm{/}2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(\sqrt{x}-1)+4x(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4x-4}\end{array}$$となるので，元の条件も満たす．