北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

2曲線の差を $$D(x)=x^2(x+1)-k^2(x+1)=(x+1)(x-k)(x+k)$$ とおく．$0\leqq k\leqq 1$ なので交点の $x$ 座標は $-1,-k,k$ の順に並ぶ．区間 $(-1,-k)$ では $D(x)>0$，区間 $(-k,k)$ では $D(x)<0$ である．したがって囲まれる部分の面積を $S(k)$ とすると$$S(k)={\int }_{-1}^{-k}D(x)dx-{\int }_{-k}^{k}D(x)dx$$である． $D(x)=x^3+x^2-k^{2}x-k^2$ と展開して積分すると $$S(k)={\displaystyle \frac{-3k^4+24k^3-6k^2+1}{12}}$$ となる．よって $$S^{\mathrm{\prime }}(k)={\displaystyle \frac{-12k^3+72k^2-12k}{12}}=-k(k^2-6k+1)$$ である．$0\leqq k\leqq 1$ にある臨界点は $k=0,k=3-2\sqrt{2}$ である．導関数の符号は，$0<k<3-2\sqrt{2}$ で負，$3-2\sqrt{2}<k<1$ で正となるので，$S(k)$ は $k=3-2\sqrt{2}$ で最小となる．したがって $k=3-2\sqrt{2}$ である．

3交点と2つの面積区間

面積そのものを展開せず，交点では2曲線の差が0になることを使って，積分区間が動く面積を直接微分する．導関数の符号だけで最小点を決める．

2曲線の差を$$D(x,k)=(x+1)(x^2-k^2)$$とおく．$0\leqq k\leqq 1$ では交点は $-1,-k,k$ の順であり，$$S(k)={\int }_{-1}^{-k}D(x,k)dx-{\int }_{-k}^{k}D(x,k)dx\mathrm{.}$$各積分端では $D=0$ なので，端点の移動から生じる項は消える．また$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }D}{\mathrm{\partial }k}}=-2k(x+1)$$である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(k)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{-k}-2k(x+1)dx-{\int }_{-k}^k-2k(x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-k(1-k{)}^2+4k^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-k(k^2-6k+1)\mathrm{.}}\end{array}$$$k^2-6k+1=0$ の解は $3\pm 2\sqrt{2}$ であり，区間 $[0,1]$ にあるのは$$k_0=3-2\sqrt{2}$$だけである．

$0<k<k_0$ では $S^{\mathrm{\prime }}(k)<0$，$k_0<k\leqq 1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(k)>0$ だから，
$S$ は $k_0$ まで減少し，その後増加する．よって面積を最小にする値は$$k=3-2\sqrt{2}$$である．