北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$0\leqq a<1$ では、$1\leqq x\leqq 2$ に対して $x-a>0$ である。また $\log (x-a)=0$ となるのは $x=a+1$ であり、$a+1$ は区間 $[1,2)$ に入る。したがって、$u=x-a$ とおくと$$F(a)={\int }_{1-a}^1-\log udu+{\int }_1^{2-a}\log udu$$である。

この式を $a$ で微分すると、端点の変化だけを考えて $$F^{\mathrm{\prime }}(a)=-\log (1-a)-\log (2-a)=-\log \{(1-a)(2-a)\}$$ となる。さらに $$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1}{1-a}}+{\displaystyle \frac{1}{2-a}}>0$$ であるから、$F(a)$ は $0\leqq a<1$ で下に凸である。

最小を与える点は $F^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ を満たす。すなわち $(1-a)(2-a)=1$ である。これを解くと $a^2-3a+1=0$ より $$a={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$$ である。範囲 $0\leqq a<1$ に入るのは $$a={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$ だけである。

このとき $$1-a={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},2-a={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$ であり、両者の積は $1$ である。$r=1-a$、$s=2-a$ とおくと、$rs=1$、$s-r=1$、$r+s=\sqrt{5}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a)}& {\displaystyle ={\int }_r^1-\log udu+{\int }_1^s\log udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+r\log r-r)+(s\log s-s+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-(r+s)+r\log r+s\log s\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $r=1\mathrm{/}s$ だから $\log r=-\log s$ であり、$$r\log r+s\log s=(s-r)\log s=\log s\mathrm{.}$$ したがって最小値は $2-\sqrt{5}+\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ である。

絶対値で分かれる積分区間

$r=1-a$ と置いて、長さ1の区間 $[r,r+1]$ 上で$\mathrm{\mid }\log u\mathrm{\mid }$ を積分する問題に直す。積分を明示的に計算し、端点の積 $r(r+1)$ が1となる点で増減が変わることを見る。

$r=1-a$ とおくと $0<r\leqq 1$ であり、$u=x-a$ により$$F(a)={\int }_r^{r+1}\mathrm{\mid }\log u\mathrm{\mid }du\mathrm{.}$$$r\leqq 1\leqq r+1$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a)}& {\displaystyle =-{\int }_r^1\log udu+{\int }_1^{r+1}\log udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-2r+r\log r+(r+1)\log (r+1)\mathrm{.}}\end{array}$$右辺を $G(r)$ とおくと$$G^{\mathrm{\prime }}(r)=\log \{r(r+1)\}\mathrm{.}$$$r(r+1)$ は $r>0$ で単調増加するので、$$r(r+1)=1$$を境に $G^{\mathrm{\prime }}$ は負から正へ変わる。したがって最小点は$$r={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},a=1-r={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$$s=r+1=(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2$ とおくと $rs=1$、$s-r=1$、
$r+s=\sqrt{5}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_{\min }}& {\displaystyle =2-(r+s)+r\log r+s\log s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{5}+(s-r)\log s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{5}+\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$