北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $C:y=x^3-x+6$ とする。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1$ であるから、点 $(a,a^3-a+6)$ における接線の傾きは $3a^2-1$ である。よって接線は $$y=(3a^2-1)(x-a)+a^3-a+6$$ である。整理すれば $y=(3a^2-1)x-2a^3+6$ とも書ける。

(2)

(1) の接線が $(-2,0)$ を通る条件は $$0=(3a^2-1)(-2-a)+a^3-a+6$$ である。左辺を整理すると $$(3a^2-1)(-2-a)+a^3-a+6=-2a^3-6a^2+8=-2(a-1)(a+2{)}^2$$ である。したがって $(a-1)(a+2{)}^2=0$ となるので $a=1,-2$ である。

(3)

点 $(t,0)$ から引いた接線の接点の $x$ 座標を $a$ とする。(1)の接線が $(t,0)$ を通る条件は $0=(3a^2-1)(t-a)+a^3-a+6$ である。整理すると $(3a^2-1)t-2a^3+6=0$ すなわち $2a^3-3t{a}^2+t-6=0$ である。

そこで $F(a)=2a^3-3t{a}^2+t-6$ とおく。$t>0$ のもとで $F^{\mathrm{\prime }}(a)=6a(a-t)$ である。したがって $F(a)$ は、$a<0$ で増加、$0<a<t$ で減少、$a>t$ で増加する。つまり $a=0$ で極大、$a=t$ で極小をとる。

3本の接線が引けるためには、この三次方程式が相異なる3つの実数解をもてばよい。三次関数の最高次係数は正なので、その条件は $F(0)>0,F(t)<0$ である。

まず $F(0)=t-6$ である。また $$F(t)=2t^3-3t^3+t-6=-t^3+t-6$$ であり、$t>0$ では $t^3-t+6>0$ だから $F(t)<0$ が常に成り立つ。よって必要十分条件は $t-6>0$ である。

したがって求める範囲は $t>6$ である。なお $t=6$ では $a=0$ が重解となり、相異なる接線は3本にならない。

接点方程式を作り、(3) は三次方程式の判別式を因数分解して相異なる3実根の条件を判定する。

(1)
接点の $x$ 座標を $u$ とすれば、接線は$$y=(3u^2-1)x-2u^3+6.$$(2)
$(-2,0)$ を通る条件は$$0=-2(3u^2-1)-2u^3+6=-2(u-1)(u+2{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$u=1,-2.$$(3)

判別式で接線本数を数える。

$(t,0)$ を通る条件は$$2u^3-3t{u}^2+t-6=0.$$この三次方程式が相異なる3実根をもつことと、異なる3本の接線が引けることは同値である。

三次式$$2u^3-3t{u}^2+t-6$$の判別式は$$\mathrm{\Delta }=108(t-6)(t^3-t+6)\mathrm{.}$$$t>0$ では$$t^3-t+6>0$$である。実際、$0<t\leqq 1$ なら $t^3-t+6>5$、$t\geqq 1$ なら $t^3-t\geqq 0$ である。よって$$\mathrm{\Delta }>0⟺t>6.$$$\mathrm{\Delta }=0$ では接点が重なるため3本にはならない。したがって求める範囲は$$t>6.$$