北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{OA}=(a,b)$$、$$\overrightarrow{OP}=(x,y)$$ である。$\overrightarrow{OA}$ から $\overrightarrow{OP}$ へ測った角が $\theta$ で、$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ だから、$$ay-bx=OA\cdot OP\sin \theta$$ である。また内積より $$ax+by=OA\cdot OP\cos \theta$$ である。したがって $$w={\displaystyle \frac{ay-bx}{ax+by}}=\tan \theta$$ となる。

(2) $AP\leqq k$ は中心 $A$、半径 $k$ の円板を表す。$0<k<OA$ なので、この円板は原点 $O$ を含まない。原点 $O$ からこの円に引いた接線の接点を $T$ とし、$OA$ と $OT$ のなす角を $\varphi$ とする。

点 $P$ が円板内を動くとき、$\theta$ の最大値は接線方向で生じる。直角三角形 $OAT$ において $$AT=k,OA=\sqrt{a^2+b^2}$$ であるから、$$\sin \varphi ={\displaystyle \frac{k}{OA}}$$ である。よって $$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{O{A}^2-k^2}}}={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^2+b^2-k^2}}}\mathrm{.}$$ (1)より $w=\tan \theta$ であり、条件から $0<\theta \leqq \varphi$ となる。したがって $w$ の範囲は $$0<w\leqq {\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^2+b^2-k^2}}}$$ である。

円板を見込む最大角

座標軸を回転して $OA$ を新しい $X$ 軸に一致させる。すると $w$ は原点を通る直線の傾きになり、その直線が中心 $(OA,0)$、半径 $k$ の円板と交わる条件を点と直線の距離で処理できる。

(1) $$\vec{a}=(a,b),\vec{p}=(x,y)$$ とおく。向きが反時計回りで
$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ だから$$ay-bx=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }\sin \theta =OA\cdot OP\sin \theta \mathrm{.}$$また$$ax+by=OA\cdot OP\cos \theta \mathrm{.}$$よって$$w=\tan \theta \mathrm{.}$$(2)$$r=OA=\sqrt{a^2+b^2}$$ とし、座標軸を回転して
$A=(r,0)$、$P=(X,Y)$ とする。この回転で距離と角度は変わらず、$$w={\displaystyle \frac{Y}{X}}\mathrm{.}$$$AP\leqq k$ は$$(X-r{)}^2+Y^2\leqq k^2$$を表す。傾き $w>0$ の直線 $Y=wX$ がこの円板と交わる条件は、
中心 $(r,0)$ と直線 $wX-Y=0$ の距離が $k$ 以下であること、すなわち$${\displaystyle \frac{rw}{\sqrt{1+w^2}}}\leqq k\mathrm{.}$$$r>k>0,w>0$ だから同値変形して$$(r^2-k^2)w^2\leqq k^2\mathrm{.}$$したがって$$0<w\leqq {\displaystyle \frac{k}{\sqrt{r^2-k^2}}}={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^2+b^2-k^2}}}\mathrm{.}$$上端は接線のときに実現し、下端 $0$ は $\theta >0$ のため含まれない。