北海道大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

直線 $l:x=y=z$ は原点を通り，方向ベクトルを $\mathit{e}=(1,1,1)$ とできる．$C$ 上の点を $$P=(a\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$$ とする．

(1) 原点から $P$ へのベクトルを $$\mathit{p}=(a\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$$ とする．点 $P$ と直線 $l$ との距離の2乗は，$\mathit{p}$ の長さの2乗から，$\mathit{e}$ 方向への射影の長さの2乗を引いたものである． $$\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2=a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta$$ であり，$\mathrm{\mid }\mathit{e}{\mathrm{\mid }}^2=3$，$$\mathit{p}\cdot \mathit{e}=a\cos \theta +b\sin \theta$$ だから$$d^2=a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta -{\displaystyle \frac{(a\cos \theta +b\sin \theta {)}^2}{3}}$$である．したがって$$d=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta -{\displaystyle \frac{(a\cos \theta +b\sin \theta {)}^2}{3}}}$$となる．

(2) (1) の式を整理すると$$d^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\{2a^2{\cos }^2\theta -2ab\sin \theta \cos \theta +2b^2{\sin }^2\theta \}$$である．ここで$${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta }{2}},{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\theta }{2}},2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$$を用いると $$d^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\{a^2+b^2+(a^2-b^2)\cos 2\theta -ab\sin 2\theta \}$$ となる． $\cos 2\theta ,\sin 2\theta$ は単位円上を動くので，$(a^2-b^2)\cos 2\theta -ab\sin 2\theta$ の最小値は $$-\sqrt{(a^2-b^2{)}^2+a^2{b}^2}=-\sqrt{a^4-a^2{b}^2+b^4}$$ である．よって $$\min d^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2-\sqrt{a^4-a^2{b}^2+b^4}}{3}}$$ である．

$t=\tan \theta$ として距離の2乗を分数式にし，その最小値を $m$ とおく．すべての実数 $t$ で成立する2次不等式の判別式を0とすることで，最小値を代数的に決める．

(1)

直線 $l$ の方向ベクトルを $\mathit{e}=(1,1,1)$，$$\mathit{p}=(a\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$$とする．射影を除いた成分の長さから$$d^2=\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2-{\displaystyle \frac{(\mathit{p}\cdot \mathit{e}{)}^2}{\mathrm{\mid }\mathit{e}{\mathrm{\mid }}^2}}$$であり，$$d=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta -{\displaystyle \frac{(a\cos \theta +b\sin \theta {)}^2}{3}}}\mathrm{.}$$(2)

$t=\tan \theta$ とする．まず $\cos \theta \mathrm{\ne }0$ の場合，$$3d^2={\displaystyle \frac{2a^2-2abt+2b^2{t}^2}{1+t^2}}\mathrm{.}$$この右辺の最小値を $m$ とすると，すべての実数 $t$ について$$(2b^2-m)t^2-2abt+(2a^2-m)\geqq 0$$であり，最小値では等号をとる．したがって判別式が0となり$$4a^2{b}^2-4(2b^2-m)(2a^2-m)=0.$$整理すると$$m^2-2(a^2+b^2)m+3a^2{b}^2=0.$$小さい方の根が最小値なので$$m=a^2+b^2-\sqrt{a^4-a^2{b}^2+b^4}\mathrm{.}$$$\cos \theta =0$ の場合の値 $3d^2=2b^2$ もこの下限以上であり，極限 $t\to \pm \mathrm{\infty }$ として上の議論に含まれる．
よって$$\min d^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2-\sqrt{a^4-a^2{b}^2+b^4}}{3}}\mathrm{.}$$