北海道大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
平面 $ax+ay+bz=1$ の法線ベクトルは $(a,a,b)$ であり、平面 $z=0$ の法線ベクトルは $(0,0,1)$ である。したがって2平面のなす角 $\alpha$ について $$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}}={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{2a^2+b^2}}}$$ である。よって $$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2a^2}}{b}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{b}}$$ である。

(2)
平面と3つの座標軸との交点を$$X({\displaystyle \frac{1}{a}},0,0),Y(0,{\displaystyle \frac{1}{a}},0),Z(0,0,{\displaystyle \frac{1}{b}})$$とおく。この3点が共通部分の三角形の頂点である。

辺の長さは$$XY={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}},XZ=YZ=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}}$$である。$0<a\leqq b$ より $$X{Z}^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}}\leqq {\displaystyle \frac{2b^2}{a^2{b}^2}}={\displaystyle \frac{2}{a^2}}=X{Y}^2$$ であるから、最長辺は $XY$ であり、最大角はその向かい側の $\mathrm{\angle }XZY$ である。したがって $\beta =\mathrm{\angle }XZY$ とすればよい。

ベクトル$$\overrightarrow{ZX}=({\displaystyle \frac{1}{a}},0,-{\displaystyle \frac{1}{b}}),\overrightarrow{ZY}=(0,{\displaystyle \frac{1}{a}},-{\displaystyle \frac{1}{b}})$$を用いると、$$\overrightarrow{ZX}\cdot \overrightarrow{ZY}={\displaystyle \frac{1}{b^2}}$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{ZX}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{ZY}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}}$$ である。よって $$\cos \beta ={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}{b}^2}{(a^2+b^2)\mathrm{/}(a^2{b}^2)}}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$ したがって$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{1-{\cos }^2\beta }}{\cos \beta }}={\displaystyle \frac{b\sqrt{2a^2+b^2}}{a^2}}\mathrm{.}$$(3)
(1)(2)より$$\tan \alpha \tan \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{b\sqrt{2a^2+b^2}}{a^2}}=\sqrt{2}\sqrt{2+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2}\mathrm{.}$$ここで $0<a\leqq b$ だから $b\mathrm{/}a\geqq 1$ である。したがって上の値は $b\mathrm{/}a=1$、すなわち $a=b$ のとき最小となる。このとき $$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{a}}=\sqrt{2}$$ であり、$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{a\sqrt{3a^2}}{a^2}}=\sqrt{3}$$ である。

座標平面との切片三角形

平面を $z=(1-ax-ay)\mathrm{/}b$ と見て傾きから $\alpha$ を求める。切片三角形では3辺の長さを求め、余弦定理で最大角を処理する。$\cos \beta$ から $\sin \beta$ を出し、正接まで整理する。

(1)

平面を$$z={\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{a}{b}}x-{\displaystyle \frac{a}{b}}y$$と書く。$xy$ 平面上で最も急に高さが変わる方向の傾きは$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{b}}\mathrm{.}$$これは平面と $z=0$ のなす角の正接なので$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{b}}\mathrm{.}$$(2)

三角形の頂点を$$X=({\displaystyle \frac{1}{a}},0,0),Y=(0,{\displaystyle \frac{1}{a}},0),Z=(0,0,{\displaystyle \frac{1}{b}})$$とする。$0<a\leqq b$ より $XY\geqq XZ=YZ$ なので、
最大角は $\beta =\mathrm{\angle }XZY$ である。$$XY={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}},XZ=YZ={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}}\mathrm{.}$$余弦定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \beta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{X{Z}^2+Y{Z}^2-X{Y}^2}{2XZ\cdot YZ}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+b^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\beta <\pi$ だから $\sin \beta >0$ であり、$$\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }={\displaystyle \frac{b\sqrt{2a^2+b^2}}{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$したがって$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}={\displaystyle \frac{b\sqrt{2a^2+b^2}}{a^2}}\mathrm{.}$$(3)$$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}\sqrt{2+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2}\mathrm{.}$$$b\mathrm{/}a\geqq 1$ だから、最小は $a=b$ のときである。このとき$$\tan \alpha =\sqrt{2},\tan \beta =\sqrt{3}\mathrm{.}$$