北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

直線 $MN$ を $y=lx+m$ とおく。このとき $$M=(0,m),N=(a,la+m)$$ である。$N$ の $y$ 座標を $n$ と書けば $n=la+m$ である。

放物線と直線の差を $D(x)=ax-x^2-(lx+m)$ とおく。線分 $MN$ が放物線と2点 $P,Q$ で交わるので、$D(x)$ は2つの交点の間で正、外側で負になる。したがって $${\int }_0^{a}D(x)dx$$ は、中央の面積 $S_2$ から左右の面積 $S_1+S_3$ を引いたものに等しい。条件 $S_2=S_1+S_3$ より $${\int }_0^a\{ax-x^2-(lx+m)\}dx=0$$ である。

左辺を計算すると$${\int }_0^a(ax-x^2)dx-{\int }_0^a(lx+m)dx=({\displaystyle \frac{a^3}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}})-({\displaystyle \frac{l{a}^2}{2}}+ma)$$である。ここで $la=n-m$ だから $${\displaystyle \frac{l{a}^2}{2}}+ma={\displaystyle \frac{a(n-m)}{2}}+ma={\displaystyle \frac{a(m+n)}{2}}$$ である。よって $${\displaystyle \frac{a^3}{6}}-{\displaystyle \frac{a(m+n)}{2}}=0$$ となり、$a>0$ なので $$m+n={\displaystyle \frac{a^2}{3}}$$ を得る。

直線 $MN$ の $x=a\mathrm{/}2$ における $y$ 座標は、両端の $y$ 座標の平均だから $${\displaystyle \frac{m+n}{2}}={\displaystyle \frac{a^2}{6}}$$ である。したがって直線 $MN$ は常に $({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a^2}{6}})$ を通る。

(2)

(1) で得た定点を通る直線を、傾き $s$ を用いて $$y=s(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})+{\displaystyle \frac{a^2}{6}}$$ と書く。ここで $$u=x-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ とおくと、放物線は $$y=ax-x^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2$$ となり、直線は $$y=su+{\displaystyle \frac{a^2}{6}}$$ となる。

交点 $P,Q$ の $u$ 座標は $${\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2=su+{\displaystyle \frac{a^2}{6}}$$ すなわち $$u^2+su-{\displaystyle \frac{a^2}{12}}=0$$ の2根である。この2根を $u_1,u_2$ とすると $$\mathrm{\mid }{u}_1-u_2\mathrm{\mid }=\sqrt{s^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}}$$ である。

2点 $P,Q$ は同じ直線上にあり、$x$ 座標の差は $\mathrm{\mid }{u}_1-u_2\mathrm{\mid }$、$y$ 座標の差は $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{u}_1-u_2\mathrm{\mid }$ である。したがって $$P{Q}^2=(1+s^2)(u_1-u_2{)}^2=(1+s^2)(s^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}})$$ である。

右辺は $s^4+(1+{\displaystyle \frac{a^2}{3}})s^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}$ であり、$s^2\geqq 0$ だから最小は $s=0$ のときである。よって求める直線は $$y={\displaystyle \frac{a^2}{6}}$$ である。

放物線を頂点中心へ平行移動し、弦の2交点を根として表す。面積条件で根の積、弦長で根の和を使う。

(1)

交点の2根で弦を表す。$$u=x-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$とおくと放物線は$$y={\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2\mathrm{.}$$交点 $P,Q$ の $u$ 座標を $u_1,u_2$ とする。この2点を結ぶ弦の式は$$y=-(u_1+u_2)u+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+u_1{u}_2\mathrm{.}$$条件 $S_2=S_1+S_3$ は、放物線と弦の符号付き面積が対称区間$$-{\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{a}{2}}$$で0になることと同値である。奇関数の項は積分すると消えるから$${\int }_{-a\mathrm{/}2}^{a\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-u_1{u}_2)du=0.$$したがって$$u_1{u}_2=-{\displaystyle \frac{a^2}{12}}\mathrm{.}$$弦の $u=0$ における高さは$${\displaystyle \frac{a^2}{4}}+u_1{u}_2={\displaystyle \frac{a^2}{6}}\mathrm{.}$$よってすべての弦は$$({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a^2}{6}})$$を通る。

(2) $$\sigma =u_1+u_2$$とおく。弦の傾きは $-\sigma$ であり、$$(u_1-u_2{)}^2={\sigma }^2-4u_1{u}_2={\sigma }^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$P{Q}^2=(1+{\sigma }^2)({\sigma }^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}})\mathrm{.}$$これは ${\sigma }^2\geqq 0$ の狭義増加関数だから、最小は $\sigma =0$ のときである。弦の傾きも0となるので、求める直線は$$y={\displaystyle \frac{a^2}{6}}\mathrm{.}$$