Evolton
方針
(1) は直線を円に代入して交点を出す。(2)は領域が円板を直線で切った凸領域であることを使い、線形関数 の最大点を、円周上の接点候補と弦 上の端点候補に分けて調べる。接点候補が半平面内に入る条件が 、弦上では係数 の符号が分岐点になる。
解答
(1)
直線 から である。これを円 に代入すると であり、整理して を得る。したがって で、それぞれ となるから、交点は である。
(2)
まず円 だけを考える。ベクトル の方向に最も遠い点で は最大となるので、その候補は であり、このときの値は である。この点がさらに を満たす条件は すなわち である。 より、これは と同値である。したがって では最大値は である。
次に を考える。このとき円周上の接点候補は半平面の外にあるので、最大点は切り取られた弦 上にある。弦の端点は (1) より 、 であり、弦上では 、 と書ける。よって したがって では で最大、 では で最大である。境界値では同じ値になるので、求める最大値はである。
円板を切った領域と支持線
別解
解法2
方針
目的関数の等高線 を平行移動する支持線として考える。円弧上の接点が許される範囲と、切断線分の両端で支えられる範囲を、境界点の外向き法線から判定する。
解答
(1)
を円の式へ代入するとよって交点は(2)
は法線ベクトル をもつ。この直線を
の向きへ動かし、領域に最後に触れる位置が最大値を与える。
点 では、円の外向き法線は 、切断直線
の外向き法線は である。
がこの2方向の間にある条件は であり、
このとき最大値は線分 の内部で支持されるのは、法線 が
と同方向、すなわち のときである。
さらに端点 で支えられる範囲は、切断直線の法線
と円の法線 の間だからこのとき最大値は である。
では円弧の滑らかな点で支持される。円板全体に対する
コーシー・シュワルツの不等式から等号点はである。この点が切断されない条件が である。
したがって最大値は
総評
難度は10段階中5、計算量は10段階中5。線形関数の最大値は、円全体の接点が許される場合と、直線で切られて接点が使えない場合に分かれる。分岐点 は接点がちょうど弦の端点 に来る条件、分岐点 は弦上で が一定方向から反対方向へ増減を変える条件である。想定時間は10分程度で、図を描いて「円周候補」と「弦候補」を分けて書くと、端点の取り違えを防げる。