北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
変換 $T$ は $(x,y)\mapsto (8x+9y,9x+ay)$ である。条件（イ）より、任意の整数 $x,y$ に対して $9x+ay$ が整数でなければならない。特に $(x,y)=(0,1)$ を代入して、$a$ は整数である。

さらに条件（ロ）は、$T(x,y)$ が格子点ならば $(x,y)$ も格子点である、という意味である。したがって、格子点を格子点へ移すだけでなく、格子点全体の間で逆向きにも戻れる必要がある。整数行列$$A=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ 9& a\end{array}\right)$$の逆行列が格子点を格子点に移すためには、行列式の絶対値が $1$ でなければならない。よって $\det A=8a-81=\pm 1$ である。これを解くと $$8a-81=1\text{または}8a-81=-1.$$ 前者は $a=41\mathrm{/}4$ で整数でなく、後者は $a=10$ である。したがって $a=10$ である。

(2) $a=10$ のとき、行列 $A$ の列ベクトルは$$\left(\begin{array}{c}8\\ 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}9\\ 10\end{array}\right)$$である。したがって、与えられた平行四辺形は $$A\{(s,t)\mid 0\leqq s\leqq k,0\leqq t\leqq k\}$$ で表される。

(1) で得た $\det A=-1$ より、$A$ は格子点全体を格子点全体へ一対一に移す。したがって、平行四辺形の内部にある格子点の個数は、正方形 $0<s<k,0<t<k$ の内部にある格子点の個数と等しい。ここで $s,t$ は整数でなければならないから、$$s=1,2,\dots ,k-1,t=1,2,\dots ,k-1$$ である。よって内部の格子点の個数は $(k-1{)}^2$ である。

正方形格子の平行四辺形への対応

条件（ロ）を逆行列の成分条件として直接使う。求めた逆行列で平行四辺形内の格子点を元の正方形へ戻し、内部条件を保ったまま整数対を数える。

(1)

条件（イ）を $(0,1)$ に適用すると $a$ は整数である。$$d=\det A=8a-81$$とおく。条件（ロ）が成り立つには $d\mathrm{\ne }0$ であり、格子点
$(1,0),(0,1)$ の逆像も格子点でなければならない。ところが$$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{d}}\left(\begin{array}{cc}a& -9\\ -9& 8\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $d$ は $9$ と $8$ の両方を割る。よって$$\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }\mid \gcd (8,9)=1,$$すなわち $d=\pm 1$ である。$$8a-81=\pm 1$$のうち、整数解をもつのは $8a-81=-1$ だけなので$$a=10.$$(2)

$a=10$ のとき$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-10& 9\\ 9& -8\end{array}\right)$$は整数行列である。平行四辺形内の点 $R$ は一意的に$$R=A\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right),0<s<k,0<t<k$$と書ける。$R$ が格子点なら$$\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)=A^{-1}R$$も格子点であり、逆も明らかである。よって内部格子点は$$(s,t)\in \{1,2,\dots ,k-1{\}}^2$$と一対一に対応する。個数は$$(k-1{)}^2\mathrm{.}$$