北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
重複解は $f(x)=0$ と $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を同時に満たす。ここで $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3p^2=3(x-p)(x+p)$$ であるから、重解の候補は $x=p$ または $x=-p$ である。$p>0$ で、しかも $\alpha <\beta$ かつ $\alpha$ が重複解であるから、小さい方の重解は $\alpha =-p$ でなければならない。

したがって $f(-p)=0$ より $$(-p{)}^3-3p^2(-p)+q=2p^3+q=0$$ となるので、$q=-2p^3$ である。このとき $$f(x)=x^3-3p^{2}x-2p^3=(x+p{)}^2(x-2p)$$ と因数分解できるから、もう一つの実数解は $\beta =2p$ である。

(2) $-p\leqq x\leqq 2p$ では $(x+p{)}^2\geqq 0$ かつ $x-2p\leqq 0$ であるから、$f(x)\leqq 0$ である。したがって求める面積 $S$ は$$S=-{\int }_{-p}^{2p}(x+p{)}^2(x-2p)dx$$である。$u=x+p$ とおくと、$x-2p=u-3p$、積分範囲は $0\leqq u\leqq 3p$ となるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_0^{3p}{u}^2(u-3p)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{3p}(3p{u}^2-u^3)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[p{u}^3-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^{3p}=27p^4-{\displaystyle \frac{81}{4}}{p}^4={\displaystyle \frac{27}{4}}{p}^4\mathrm{.}}\end{array}$$これが $2p$ に等しいから、$p>0$ より $${\displaystyle \frac{27}{4}}{p}^4=2p,p^3={\displaystyle \frac{8}{27}}\mathrm{.}$$ よって $$p={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

重解をもつ3次関数と面積

重解と単解を最初から因数分解の形に置き、係数比較だけで3つの未知量を決める。面積は $u=x+p$ と平行移動して、区間と符号が一目で分かる形に直す。

(1)

$f(x)$ は最高次係数が $1$ で、$\alpha$ を重解、$\beta$ を単解にもつから$$f(x)=(x-\alpha {)}^2(x-\beta )$$と書ける。展開して $x^2$ の係数を比較すると$$2\alpha +\beta =0.$$また $x$ の係数から$${\alpha }^2+2\alpha \beta =-3p^2\mathrm{.}$$$\beta =-2\alpha$ を代入すると $-3{\alpha }^2=-3p^2$ だから
$\alpha =\pm p$ である。条件 $\alpha <\beta =-2\alpha$ より
$\alpha <0$ なので$$\alpha =-p,\beta =2p\mathrm{.}$$定数項を比較すれば$$q=-{\alpha }^2\beta =-2p^3\mathrm{.}$$(2)

以上から$$f(x)=(x+p{)}^2(x-2p)\mathrm{.}$$$-p\leqq x\leqq 2p$ では $f(x)\leqq 0$ である。$u=x+p$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_{-p}^{2p}f(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{3p}{u}^2(3p-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[p{u}^3-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^{3p}={\displaystyle \frac{27}{4}}{p}^4\mathrm{.}}\end{array}$$$S=2p$ かつ $p>0$ より$${\displaystyle \frac{27}{4}}{p}^4=2p⟺p^3={\displaystyle \frac{8}{27}}\mathrm{.}$$したがって$$p={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$