北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

焦点が $F(0,p)$、準線が $y=-p$ である放物線は $x^2=4py$ である。点 $Q(x_0,y_0)$ はこの放物線上にあるので $$y_0={\displaystyle \frac{x_0^2}{4p}}$$ である。

点 $Q$ における接線の傾きを $m$ とすると、$x^2=4py$ より $$2x=4p{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$$ であるから $$m={\displaystyle \frac{x_0}{2p}}$$ である。接線が $x$ 軸となす角を $\varphi$ とすれば $$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{x_0}{2p}}$$ である。

一方、直線 $QF$ の傾きは$${\displaystyle \frac{y_0-p}{x_0}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x_0^2}{4p}}-p}{x_0}}={\displaystyle \frac{x_0^2-4p^2}{4p{x}_0}}$$である。ここで $$\tan 2\varphi ={\displaystyle \frac{2\tan \varphi }{1-{\tan }^2\varphi }}={\displaystyle \frac{4p{x}_0}{4p^2-x_0^2}}$$ なので $$-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\varphi }}={\displaystyle \frac{x_0^2-4p^2}{4p{x}_0}}$$ である。これは直線 $QF$ の傾きに等しい。

直線 $l_2$ は放物線の主軸に平行、すなわち鉛直線である。接線の方向角を $\varphi$ とすると、$l_2$ の方向角は ${90}^{\circ }$ であり、上の等式は $QF$ の方向が $2\varphi -{90}^{\circ }$ に対応することを示している。したがって接線 $l$ は $l_1$ と $l_2$ のなす角を2等分する。

(2)

与えられた放物線は $$y=x^2-2\sqrt{2}x+4=(x-\sqrt{2}{)}^2+2$$ である。$u=a-\sqrt{2}$ とおくと、仮定 $a>\sqrt{2}$ より $u>0$ であり、点 $R$ は $R=(\sqrt{2}+u,u^2+2)$ である。

接線の傾きは $2(a-\sqrt{2})=2u$ である。接線と鉛直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ とするので、接線が水平線となす角を $\varphi$ とすれば $$\tan \varphi =2u,\theta ={90}^{\circ }-\varphi$$ である。したがって $\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{2u}}$ である。

問題で与えられた直線の傾きは$${\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{2\tan \theta }}={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{4u^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{u}}}}=u-{\displaystyle \frac{1}{4u}}$$である。よってその直線は $$y-(u^2+2)=(u-{\displaystyle \frac{1}{4u}})(x-\sqrt{2}-u)$$ で表される。

ここで $x=\sqrt{2}$ を代入すると、右辺は $$(u-{\displaystyle \frac{1}{4u}})(-u)=-u^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $y-(u^2+2)=-u^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ より $y={\displaystyle \frac{9}{4}}$ となる。よってこの直線は $a$ によらず定点 $(\sqrt{2},{\displaystyle \frac{9}{4}})$ を通る。

(1) の反射性をそのまま(2)へ適用する。与えられた傾きは $\cot 2\theta$ であるから、求める直線は点 $R$ と放物線の焦点を結ぶ直線だと読み、平方完成から焦点を即座に求める。

(1)

放物線は $x^2=4py$ である。$Q=(2pt,p{t}^2)$ と媒介表示すると、接線は$$tx-y=p{t}^2\mathrm{.}$$接線の方向ベクトルを $\mathit{u}=(1,t)$、主軸方向を $\mathit{v}=(0,1)$ とする。また$$\overrightarrow{QF}=(-2pt,p-p{t}^2)=p(-2t,1-t^2)\mathrm{.}$$$\mathit{u}$ を単位方向に直して反射公式を適用すると、$\mathit{v}$ を接線に関して反射した方向は$$2{\displaystyle \frac{\mathit{u}\cdot \mathit{v}}{\mathit{u}\cdot \mathit{u}}}\mathit{u}-\mathit{v}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}(2t,t^2-1),$$これは $-\overrightarrow{QF}$ と平行である。よって接線は $QF$ と主軸に平行な直線のなす角を二等分する。

(2)

与えられた放物線は$$y=(x-\sqrt{2}{)}^2+2.$$$X=x-\sqrt{2},Y=y-2$ と平行移動すれば$$X^2=Y=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}Y$$だから、焦点は$$F=(\sqrt{2},2+{\displaystyle \frac{1}{4}})=(\sqrt{2},{\displaystyle \frac{9}{4}})\mathrm{.}$$接線と鉛直線のなす角が $\theta$ であるから、(1)より焦点方向の傾きは$$\cot 2\theta ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{2\tan \theta }}\mathrm{.}$$したがって問題の直線は $R$ と焦点 $F$ を結ぶ直線にほかならない。ゆえに $a$ によらず$$(\sqrt{2},{\displaystyle \frac{9}{4}})$$を通る。