北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

円 $C$ の中心を $(x,y)$，半径を $r$ とする。円 $A$ の中心を $F_A=(-2,0)$，円 $B$ の中心を $F_B=(2,0)$ とすると，接触条件より $$C{F}_A=r-1,C{F}_B=r+1$$ である。したがって $C{F}_B-C{F}_A=2$ となる。これは焦点 $(-2,0),(2,0)$ からの距離差が $2$ である双曲線である。

焦点間距離は $4$ なので $c=2$，距離差は $2a=2$ なので $a=1$ である。よって $b^2=c^2-a^2=3$ であり，方程式は $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$$ である。さらに $C{F}_B>C{F}_A$ なので左側の枝を取る。したがって $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1,x\leqq -1$$ である。

(2)

直線 $y=2$ に接するので $r=\mathrm{\mid }y-2\mathrm{\mid }$ である。また $C{F}_A=r-1$ だから $$\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=\mathrm{\mid }y-2\mathrm{\mid }-1$$ である。

左枝上でこの条件を満たす点を調べる。$y\leqq 2$ の場合は $r=2-y$ で，$(x+2{)}^2+y^2=(1-y{)}^2$ すなわち $(x+2{)}^2=1-2y$ である。これと $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1,x\leqq -1$$ を連立すると $$(x,y)=(-1,0),(-7,-12)$$ を得る。$y>2$ の場合は $\mathrm{\mid }y-2\mathrm{\mid }-1=y-3$ であるが，二乗すると $(x+2{)}^2=9-6y$ となり，$y>2$ では右辺が負になるため解はない。

よって半径はそれぞれ $$r=\mathrm{\mid }0-2\mathrm{\mid }=2,r=\mathrm{\mid }-12-2\mathrm{\mid }=14$$ である。したがって $r=2,r=14$ である。

中心と半径の関係をまず半径 $r$ で式にし、二つの距離の平方差から中心の $x$ 座標を $r$ だけで表す。直線との接触条件も $r$ で書いて二次方程式へ落とす。

円 $C$ の中心を $(x,y)$、半径を $r$ とする。円 $A$ を内包して内接し、円 $B$ と外接するので$$\begin{array}{cccc}& (x+2{)}^2+y^2=(r-1{)}^2,(x-2{)}^2+y^2=(r+1{)}^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$後式から前式を引くと$$\begin{array}{cccc}& -8x=4r,x=-{\displaystyle \frac{r}{2}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$これを前式へ代入して$$\begin{array}{cccc}& y^2={\displaystyle \frac{3}{4}}(r^2-4)\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(2), (3) から$$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1.$$また $r\geqq 2$ だから $x=-r\mathrm{/}2\leqq -1$ である。逆にこの左枝の各点から $r=-2x$ と置けば (1) が成り立つ。したがって$$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1,x\leqq -1$$が中心の軌跡である。

(2)

直線 $y=2$ に接する条件は$$\mathrm{\mid }y-2\mathrm{\mid }=r\mathrm{.}$$まず $y=2-r$ として (3) に代入すると$$(2-r{)}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}(r^2-4),$$すなわち$$r^2-16r+28=0.$$よって$$r=2,14.$$どちらも $r\geqq 2$ で、対応する $y=0,-12$ は条件を満たす。一方 $y=2+r$ を (3) に代入すると$$(2+r{)}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}(r^2-4)$$となるが、左辺と右辺を整理すると $r^2+16r+28=0$ で、正の解を持たない。したがって半径は$$r=2,14$$である。