北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

接点を $T=(X,Y)$ とおく。$T$ は円 $C$ 上にあるから $X^2+Y^2=r^2$ である。また、接線 $PT$ は半径 $OT$ と垂直であるから $(P-T)\cdot T=0$ である。$P=(r,t)$ より $rX+tY=X^2+Y^2=r^2$ を得る。したがって $T$ は $$X^2+Y^2=r^2,rX+tY=r^2$$ を満たす。

ここで $A=(r,0)$ もこの2式を満たす。$rX+tY=r^2$ から $$Y={\displaystyle \frac{r^2-rX}{t}}$$ として円の方程式に代入すると $$X^2+{\left({\displaystyle \frac{r^2-rX}{t}}\right)}^2=r^2$$ である。整理すると $$(X-r)\{(r^2+t^2)X-r(r^2-t^2)\}=0$$ となる。$X=r$ は接点 $A$ に対応するので、求めるもう一つの接点では $$X={\displaystyle \frac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2}}$$ である。これを $rX+tY=r^2$ に戻すと $$Y={\displaystyle \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}}$$ である。よって $$T=({\displaystyle \frac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2}},{\displaystyle \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}})$$ である。

(2)

点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので $Q=\lambda (r,t)$ とおく。すなわち $Q=(\lambda r,\lambda t)$ である。

一方、$Q$ は線分 $AT$ 上にもある。$A=(r,0)$ から $T$ へ向かうベクトルは $$T-A=(-{\displaystyle \frac{2r{t}^2}{r^2+t^2}},{\displaystyle \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}})$$ であるから、$AT$ 上の点は $A+\mu (T-A)$ と表せる。この $y$ 座標を $\lambda t$ と比較すると $$\lambda t=\mu {\displaystyle \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}}$$ であり、$t\mathrm{\ne }0$ より $$\lambda =\mu {\displaystyle \frac{2r^2}{r^2+t^2}}$$ である。$x$ 座標を比較すると $$\lambda r=r-\mu {\displaystyle \frac{2r{t}^2}{r^2+t^2}}$$ である。これらから $\mu =1\mathrm{/}2$ が得られ、したがって $$\lambda ={\displaystyle \frac{r^2}{r^2+t^2}}$$ である。よって $$Q=({\displaystyle \frac{r^3}{r^2+t^2}},{\displaystyle \frac{r^{2}t}{r^2+t^2}})$$ となる。 $Q=(x,y)$ とおくと $$x={\displaystyle \frac{r^3}{r^2+t^2}},y={\displaystyle \frac{r^{2}t}{r^2+t^2}}$$ である。これより $$x^2+y^2={\displaystyle \frac{r^6+r^4{t}^2}{(r^2+t^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{r^4}{r^2+t^2}}=rx$$ を得る。したがって軌跡は $x^2+y^2=rx$ すなわち $${(x-{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^2$$ である。

今、$P$ は直線 $x=r$ の第1象限にある部分を動くので $t>0$ である。したがって $y>0$ である。また $t\to 0+$ で $Q$ は $A$ に近づき、$t\to \mathrm{\infty }$ で原点に近づくが、$t=0$ でも $t=\mathrm{\infty }$ でもない。よって求める軌跡は $${(x-{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^2,y>0$$ で表される上半円であり、端点 $(0,0)$、$(r,0)$ は含まない。

$u=t\mathrm{/}r$ と無次元化し、単位円の有理パラメータ表示として接点を求める。交点 $Q$ は2直線の方程式を連立して出し、得られた媒介表示から円の方程式と動く範囲を同時に読む。

(1)

$u=t\mathrm{/}r$ とおく。円 $C$ を半径 $r$ で規格化すると、点 $P$ は $(1,u)$ である。接点 $T\mathrm{/}r=(X,Y)$ は$$X^2+Y^2=1,X+uY=1$$を満たす。既知の解 $(1,0)$ 以外の解をとれば$$(X,Y)=({\displaystyle \frac{1-u^2}{1+u^2}},{\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}})\mathrm{.}$$元の尺度へ戻して$$T=({\displaystyle \frac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2}},{\displaystyle \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}})\mathrm{.}$$(2)

$AT$ の傾きは$${\displaystyle \frac{2r^{2}t\mathrm{/}(r^2+t^2)}{r(r^2-t^2)\mathrm{/}(r^2+t^2)-r}}=-{\displaystyle \frac{r}{t}}$$なので、その方程式は $y=-r(x-r)\mathrm{/}t$ である。一方、$OP$ は $y=(t\mathrm{/}r)x$ である。連立すると$$Q=({\displaystyle \frac{r^3}{r^2+t^2}},{\displaystyle \frac{r^{2}t}{r^2+t^2}})\mathrm{.}$$したがって$$x^2+y^2=rx⟺{(x-{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$$t>0$ だから $y>0$。逆にこの上半円上の各点には$$t={\displaystyle \frac{ry}{x}}>0$$が対応する。よって軌跡は上半円で、端点 $(0,0),(r,0)$ は含まない。