北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

与えられた近似値から $${\log }_{10}18={\log }_{10}(2\cdot 3^2)={\log }_{10}2+2{\log }_{10}3$$ である。したがって $${\log }_{10}18=0.3010+2\cdot 0.4771=1.2552$$ である。よって $${\log }_{10}{18}^{35}=35\cdot 1.2552=43.932$$ となる。

一般に、${10}^m\leqq N<{10}^{m+1}$ なら $N$ は $m+1$ 桁である。今 $43<{\log }_{10}{18}^{35}<44$ だから ${10}^{43}<{18}^{35}<{10}^{44}$ である。したがって ${18}^{35}$ の桁数は $44$ である。

(2)

(1) より $${18}^{35}={10}^{43}\cdot {10}^{0.932}$$ である。最高位の数字が8であることを示すには $8\leqq {10}^{0.932}<9$ を示せばよい。

与えられた値から $${\log }_{10}8={\log }_{10}{2}^3=3{\log }_{10}2=0.9030$$ であり、また $${\log }_{10}9={\log }_{10}{3}^2=2{\log }_{10}3=0.9542$$ である。したがって $${\log }_{10}8=0.9030<0.932<0.9542={\log }_{10}9$$ となる。常用対数は増加関数であるから $8<{10}^{0.932}<9$ である。ゆえに ${18}^{35}$ の最高位の数字は8である。

${18}^{35}={10}^{43}\cdot {10}^{0.932}$ と一度で標準形にし、整数部分から桁数を、小数部分を ${\log }_{10}8,{\log }_{10}9$ と比較して最高位を判定する。

(1) $${\log }_{10}18={\log }_{10}2+2{\log }_{10}3=0.3010+2\cdot 0.4771=1.2552$$だから$${\log }_{10}{18}^{35}=35\cdot 1.2552=\mathrm{43.932.}$$したがって$${10}^{43}<{18}^{35}<{10}^{44}$$であり、桁数は $44$ である。

(2) $${18}^{35}={10}^{43}\cdot {10}^{0.932}\mathrm{.}$$一方、$${\log }_{10}8=3{\log }_{10}2=0.9030,{\log }_{10}9=2{\log }_{10}3=0.9542$$なので$${\log }_{10}8<0.932<{\log }_{10}9.$$対数関数の単調性から$$8<{10}^{0.932}<9.$$ゆえに ${18}^{35}$ の最高位は $8$ である。