北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式文系数学 第4問(a)

$z=r{e}^{i\theta }$ とおく。ただし $r>0$ である。このとき $$z^2=r^2{e}^{2i\theta },{\displaystyle \frac{1}{z^2}}=r^{-2}{e}^{-2i\theta }$$ である。したがって $$w=z^2-{\displaystyle \frac{1}{z^2}}=r^2{e}^{2i\theta }-r^{-2}{e}^{-2i\theta }$$ であり、その実部は $$\mathrm{Re}w=(r^2-r^{-2})\cos 2\theta$$ である。

よって $w$ の実部が正である条件は $$(r^2-r^{-2})\cos 2\theta >0$$ である。$r>1$ なら $r^2-r^{-2}>0$ なので $\cos 2\theta >0$ が必要十分である。これは $x$ 軸に近い2つの領域、すなわち直線 $y=x$、$y=-x$ に挟まれる側である。

一方、$0<r<1$ なら $r^2-r^{-2}<0$ なので $\cos 2\theta <0$ が必要十分である。これは $y$ 軸に近い2つの領域である。

直交座標で書けば、境界は $$x^2+y^2=1,x^2-y^2=0$$ である。したがって求める領域は $(x^2+y^2-1)(x^2-y^2)>0$ で表される部分である。ただし、境界で実部は0になるので境界は含まない。また $z\mathrm{\ne }0$ であるから原点も含まない。

極形式を使わず、$z=x+iy$ として実部を直接計算する。分母は正なので、符号を決める2因子だけを取り出し、単位円の内外と対角線の両側の組合せとして図示する。

$z=x+iy\mathrm{\ne }0$ とおくと$$\mathrm{Re}(z^2)=x^2-y^2\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{1}{z^2}}={\displaystyle \frac{{\bar{z}}^2}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^4}}$$だから$$\mathrm{Re}\left({\displaystyle \frac{1}{z^2}}\right)={\displaystyle \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{Re}w=(x^2-y^2)\{1-{\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}}\}\mathrm{.}$$分母は正であり、$$(x^2+y^2{)}^2-1=(x^2+y^2-1)(x^2+y^2+1)$$なので、求める条件は$$(x^2-y^2)(x^2+y^2-1)>0.$$すなわち、単位円の外側では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$、単位円の内側では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ の部分である。単位円と直線 $y=\pm x$ は含まず、$z=0$ も除く。