北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式文系数学 第4問(a)

(1)

点 $P$ が線分 $AB$ 上を動くので，$0\leqq t\leqq 1$ を用いて $z=1+2ti$ と表せる。すると $$z^2=(1+2ti{)}^2=1-4t^2+4ti$$ である。 $z^2$ を表す点の座標を $(X,Y)$ とすると $X=1-4t^2,Y=4t$ である。$0\leqq t\leqq 1$ より $0\leqq Y\leqq 4$ であり，$t=Y\mathrm{/}4$ を代入すると $$X=1-4{\left({\displaystyle \frac{Y}{4}}\right)}^2=1-{\displaystyle \frac{Y^2}{4}}\mathrm{.}$$ したがって軌跡は $$X=1-{\displaystyle \frac{Y^2}{4}},0\leqq Y\leqq 4$$ である。これは，左向きに開く放物線 $X=1-Y^2\mathrm{/}4$ のうち，$Y=0$ から $Y=4$ までの部分である。

(2) $A$ は $1$，$C$ は $2i$ を表すので，座標では $A=(1,0),C=(0,2)$ である。$\mathrm{△}AQC$ が $Q$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき，$AC$ は斜辺である。

線分 $AC$ の中点を $M$ とすると $$M=({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$$ である。また $$\overrightarrow{MA}=({\displaystyle \frac{1}{2}},-1)$$ である。このベクトルを ${90}^{\circ }$ 回転すると $(1,{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ の二つが得られる。したがって $Q$ は$$({\displaystyle \frac{1}{2}},1)+(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$$または$$({\displaystyle \frac{1}{2}},1)+(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

よって対応する複素数は $$w={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i,w=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$$ である。

(1) は虚部を直接パラメータにして実部との関係を消去する。(2)は点 $Q=(p,q)$ と置き、等辺条件と直角条件を連立して座標を求める。

(1)

線分 $AB$ は実部が $1$、虚部が $0$ 以上 $2$ 以下の点からなる。そこで$$z=1+iy(0\leqq y\leqq 2)$$と置く。このとき$$z^2=1-y^2+2iy\mathrm{.}$$$z^2=X+iY$ と書けば$$X=1-y^2,Y=2y\mathrm{.}$$したがって $y=Y\mathrm{/}2$ を消去して$$X=1-{\displaystyle \frac{Y^2}{4}},0\leqq Y\leqq 4$$を得る。これは左向きの放物線の指定された部分である。

(2)

$Q=(p,q)$ と置く。$QA=QC$ より$$(p-1{)}^2+q^2=p^2+(q-2{)}^2,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& -2p+4q-3=0.& & \text{(1)}\end{array}$$また $\mathrm{\angle }AQC={90}^{\circ }$ より$$(1-p,-q)\cdot (-p,2-q)=0,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& p^2+q^2-p-2q=0.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)から $p=2q-3\mathrm{/}2$ として (2) に代入すると$$20q^2-40q+15=0,$$よって$$q={\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$対応する $p$ はそれぞれ $3\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}2$ である。したがって$$w={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i,w=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$$である。