北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第4問(b)

(1)

直線 $l$ は $$\overrightarrow{p}=(0,2)+t(1,-2)$$ で表されるから、座標で書くと $y=2-2x$ である。すなわち $2x+y-2=0$ である。

原点 $O=(0,0)$ からこの直線に下ろした垂線の足を $H$ とする。直線 $2x+y-2=0$ の法線ベクトルは $(2,1)$ なので、$H$ は $H=s(2,1)$ と書ける。これを直線の方程式に代入すると $2(2s)+s-2=0$ より $s={\displaystyle \frac{2}{5}}$ である。したがって $$H=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}})$$ である。原点と対称な点 $O^{\mathrm{\prime }}$ は $H$ を中点にもつので $$O^{\mathrm{\prime }}=2H=({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$$ である。

(2)

反射の法則より、直線 $l$ に関して原点 $O$ を対称移動した点 $O^{\mathrm{\prime }}$ から点 $Q$ へ進む直線が、反射光を含む直線になる。したがって方向ベクトルとして $$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{O^{\mathrm{\prime }}Q}$$ を取ればよい。 $Q=(a,b)$ は直線 $l$ 上にあるので $b=2-2a$ である。よって$$\overrightarrow{d}=(a-{\displaystyle \frac{8}{5}},b-{\displaystyle \frac{4}{5}})=(a-{\displaystyle \frac{8}{5}},2-2a-{\displaystyle \frac{4}{5}})$$となる。したがって、例えば $$\overrightarrow{d}=(a-{\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{6}{5}}-2a)$$ を取ればよい。

直線の単位法線方向へ原点を射影して鏡像を求める。別の見方として、入射方向ベクトルを直線の法線に関して反射させ、その成分が $Q-O^{\mathrm{\prime }}$ と平行になることを確認する。

(1)

$l$ は$$2x+y-2=0$$で、法線ベクトルを $\mathit{n}=(2,1)$ とする。点 $\mathit{x}$ のこの直線に関する鏡像は$${\mathit{x}}^{\mathrm{\prime }}=\mathit{x}-2{\displaystyle \frac{\mathit{n}\cdot \mathit{x}-2}{\mathrm{\mid }\mathit{n}{\mathrm{\mid }}^2}}\mathit{n}$$である。原点を代入すると$$O^{\mathrm{\prime }}=-2{\displaystyle \frac{-2}{5}}(2,1)=({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})\mathrm{.}$$(2)

$Q=(a,2-2a)$ である。鏡像法により、反射後の直線は $O^{\mathrm{\prime }}$ と $Q$ を通る。したがって、その方向ベクトルとして$$\mathit{d}=Q-O^{\mathrm{\prime }}=(a-{\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{6}{5}}-2a)$$を取れる。

実際、原点から $Q$ への入射ベクトルを直線 $l$ の法線成分と接線成分に分けると、反射では法線成分だけが反転する。この操作は始点 $O$ を鏡像 $O^{\mathrm{\prime }}$ へ移すことと同値なので、上の $\mathit{d}$ は反射の法則を満たす。