北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式理系数学 第5問(a)

$z=x+iy$ とおく。ただし $z\mathrm{\ne }0$ である。このとき $${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{x-iy}{x^2+y^2}}$$ なので$${\displaystyle \frac{z}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})+i({\displaystyle \frac{y}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}})\mathrm{.}$$これが実数であるためには虚部が $0$ でなければならない。すなわち $$y({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}})=0$$ である。したがって $y=0$ または $x^2+y^2=2$ である。

まず $y=0$ の場合を考える。このとき $z=x\mathrm{\ne }0$ で，値は ${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ である。$x<0$ ならこの値は負になるので不適。$x>0$ として $$0\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\leqq 2$$ を解く。左側は自動的に成り立ち，右側は $x^2-4x+2\leqq 0$ と同値である。よって $$2-\sqrt{2}\leqq x\leqq 2+\sqrt{2}$$ である。

次に $x^2+y^2=2$ の場合を考える。このとき $${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{x-iy}{2}}$$ なので $${\displaystyle \frac{z}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=x$$ である。値が $0$ 以上 $2$ 以下であるためには $0\leqq x\leqq 2$ であればよい。円 $x^2+y^2=2$ 上では $x\leqq \sqrt{2}$ なので，条件は実質的に $x\geqq 0$ である。

したがって求める点の集合は $$\{(x,0)\mid 2-\sqrt{2}\leqq x\leqq 2+\sqrt{2}\}$$ と $$\{(x,y)\mid x^2+y^2=2,x\geqq 0\}$$ の和集合である。すなわち，実軸上の線分と，原点中心・半径 $\sqrt{2}$ の右半円である。

$z=r{e}^{i\theta }$ と極形式で置き、虚部が0になる条件を半径と偏角に分ける。実軸上の場合と半径 $\sqrt{2}$ の円周上の場合をそれぞれ範囲条件で絞る。

$z=r{e}^{i\theta }$ と置く。ただし $r>0$ である。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{z}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r}{2}}(\cos \theta +i\sin \theta )+{\displaystyle \frac{1}{r}}(\cos \theta -i\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{r}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{r}})\cos \theta +i({\displaystyle \frac{r}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{r}})\sin \theta \mathrm{.}}\end{array}$$これが実数である条件は$$({\displaystyle \frac{r}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{r}})\sin \theta =0.$$まず $\sin \theta =0$ の場合、$z$ は実数である。負の実数では値も負になるので不適であり、$z=r>0$ として$${\displaystyle \frac{r}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}\leqq 2.$$これを解くと$$r^2-4r+2\leqq 0,$$よって$$2-\sqrt{2}\leqq r\leqq 2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$次に $r\mathrm{/}2=1\mathrm{/}r$ の場合は $r=\sqrt{2}$ である。このとき$${\displaystyle \frac{z}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\sqrt{2}\cos \theta \mathrm{.}$$これが $0$ 以上 $2$ 以下である条件は $\cos \theta \geqq 0$ であり、上限は自動的に満たされる。

したがって求める集合は$$\{(x,0)\mid 2-\sqrt{2}\leqq x\leqq 2+\sqrt{2}\}$$と$$\{(x,y)\mid x^2+y^2=2,x\geqq 0\}$$の和集合である。