北海道大学 2001年度 前期日程理系数学 第1問

(1) $$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$$ である。$a+b\omega =c+d\omega$ とすると $(a-c)+(b-d)\omega =0$ である。虚部を比べると $$(b-d){\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=0$$ だから $b=d$ である。これをもとの式に戻すと $a=c$ である。したがって $a=c,b=d$ が示された。

(2) $\omega$ は1の3乗根で $1+\omega +{\omega }^2=0$ をみたすので ${\omega }^2=-1-\omega$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \omega (x+y\omega )}& {\displaystyle =x\omega +y{\omega }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\omega +y(-1-\omega )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-y+(x-y)\omega \mathrm{.}}\end{array}$$ $$s+t\omega =\omega (x+y\omega )$$ であり、(1)より表示は一意であるから $s=-y,t=x-y$ である。よって$$\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$となる。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$$である。

(3)

(2) より、行列 $A$ は $x+y\omega$ を $\omega (x+y\omega )$ に移す操作を表す。したがって $A^2$ は ${\omega }^2$ 倍する操作を表し、$E$ は1倍する操作を表す。

ゆえに $A^2+E$ は ${\omega }^2+1=-\omega$ を掛ける操作に対応する。したがって $(A^2+E{)}^{3n}$ は $$(-\omega {)}^{3n}=(-1{)}^{3n}{\omega }^{3n}=(-1{)}^n$$ を掛ける操作に対応する。実数 $(-1{)}^n$ を掛ける操作の行列は $(-1{)}^{n}E$ であるから $(A^2+E{)}^{3n}=(-1{)}^{n}E$ である。

(1) (2)は実部・虚部と係数を比較する。(3)では
$A^2+E$ を実際に計算し、その3乗が $-E$ になることを利用して
$3n$ 乗をまとめる。

(1) $$a+b\omega =(a-{\displaystyle \frac{b}{2}})+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}bi$$である。同様に右辺を実部と虚部に分けて虚部を比較すると$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}d$$より $b=d$ である。実部を比較すれば $a=c$ も従う。

(2)

${\omega }^2+\omega +1=0$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \omega (x+y\omega )}& {\displaystyle =x\omega +y{\omega }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-y+(x-y)\omega \mathrm{.}}\end{array}$$(1)の表示の一意性から$$s=-y,t=x-y\mathrm{.}$$したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)

直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right),B:=A^2+E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$さらに$$B^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right),B^3=-E\mathrm{.}$$よって$$(A^2+E{)}^{3n}=B^{3n}=(B^3{)}^n=(-1{)}^{n}E\mathrm{.}$$