北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

円 $C$ の中心は $A(a,0)$、半径は1である。右側の交点 $B$ は $(a+1,0)$ であり、$AB$ は $x$ 軸の正の向きである。したがって $$P=(a+\cos \theta ,\sin \theta )$$ であり、$$Q=(a+\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$$ である。 $P$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足は $P^{\mathrm{\prime }}=(0,\sin \theta )$ であるから $O{P}^{\mathrm{\prime }}=\sin \theta$ である。また、$Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $Q^{\mathrm{\prime }}=(a+\cos 2\theta ,0)$ である。$$0^{\circ }<\theta \leqq {45}^{\circ }$$ なので $\cos 2\theta \geqq 0$、また $a\geqq 0$ であるから $O{Q}^{\mathrm{\prime }}=a+\cos 2\theta$ である。

よって長方形の面積は $$S=(\sin \theta )(a+\cos 2\theta )$$ である。$t=\sin \theta$ とおくと $$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-2t^2$$ であるから $S=t(a+1-2t^2)$ である。

(2) $$0^{\circ }<\theta \leqq {45}^{\circ }$$ より $0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。したがって $S(t)=(a+1)t-2t^3$ をこの範囲で最大化すればよい。微分すると $S^{\mathrm{\prime }}(t)=a+1-6t^2$ である。

臨界点は $$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{a+1}{6}}}$$ である。この点が区間内にある条件は $$\sqrt{{\displaystyle \frac{a+1}{6}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ すなわち $a\leqq 2$ である。 $0\leqq a\leqq 2$ のときは、この臨界点で $S$ が最大になる。実際、$S^{\mathrm{\prime }}(t)$ はこの点の前で正、後で負である。よって $$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{a+1}{6}}}$$ であり、最大値は $$S_{\max }=(a+1)t-2t^3={\displaystyle \frac{2}{3}}(a+1)t={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{9}}(a+1{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。 $a\geqq 2$ のときは、区間内で $S^{\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$ となるので、右端 $t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ で最大となる。このとき $$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(a+1-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}$$ である。$a=2$ では2つの表示は一致する。

微分の代わりに、臨界点候補 $t_0=\sqrt{(a+1)\mathrm{/}6}$ との差を因数分解する。候補が区間内にある場合は平方因子で最大を示し、候補が右端を越える場合は関数が右端まで増加することを差の積で示す。

(1) $$P=(a+\cos \theta ,\sin \theta ),Q=(a+\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\mathrm{.}$$したがって $O{P}^{\mathrm{\prime }}=\sin \theta =t$、$$O{Q}^{\mathrm{\prime }}=a+\cos 2\theta =a+1-2t^2$$ より$$S=t(a+1-2t^2),0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$(2)

まず $0\leqq a\leqq 2$ とし、$$t_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{a+1}{6}}}$$とおく。このとき $0<t_0\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ であり、$a+1=6t_0^2$ を使うと$$S(t_0)-S(t)=2(t-t_0{)}^2(t+2t_0)\geqq 0.$$よって$$t=t_0,S_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{9}}(a+1{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$次に $a\geqq 2$ とする。$0<u<t\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なら$$S(t)-S(u)=(t-u)\{a+1-2(t^2+tu+u^2)\}\mathrm{.}$$ここで $t^2+tu+u^2<3\mathrm{/}2$ だから、中括弧は $a-2$ 以上で、実際には正である。したがって $S$ は区間で増加し、$$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},S_{\max }={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$$a=2$ では両表示が一致する。