北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第4問(b)

(1)

点 $P,Q$ は $$P=(2\sqrt{2}a,0,0),Q=(\sqrt{2}a,\sqrt{5}a,1)$$ である。したがって$$\overrightarrow{PO}=(-2\sqrt{2}a,0,0),\overrightarrow{PQ}=(-\sqrt{2}a,\sqrt{5}a,1)$$である。

内積と大きさを計算すると $$\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PQ}=4a^2,$$ また$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PO}\mathrm{\mid }=2\sqrt{2}a,\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=\sqrt{2a^2+5a^2+1}=\sqrt{7a^2+1}\mathrm{.}$$よって$$\cos \mathrm{\angle }OPQ={\displaystyle \frac{4a^2}{2\sqrt{2}a\sqrt{7a^2+1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{7a^2+1}}}\mathrm{.}$$ $\mathrm{\angle }OPQ={60}^{\circ }$ だから $${\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{7a^2+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$ 両辺を二乗して $${\displaystyle \frac{2a^2}{7a^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ より $8a^2=7a^2+1.$ $a>0$ なので $a=1$ である。

(2) $a=1$ のとき$$\overrightarrow{OP}=(2\sqrt{2},0,0),\overrightarrow{OQ}=(\sqrt{2},\sqrt{5},1)$$である。この二つに垂直なベクトルとして $$n=(0,-2\sqrt{2},2\sqrt{10})$$ を取ることができる。実際，これは $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の外積である。

平面 $OPQ$ は原点を通り，法線ベクトルが $n$ であるから，方程式は $$-2\sqrt{2}y+2\sqrt{10}z=0$$ である。点 $A=(0,0,1)$ からこの平面へ下ろした垂線の足を $H=A-\lambda n$ とおく。$H$ が平面上にあるためには $n\cdot H=0$ である。したがって $$n\cdot A-\lambda \mathrm{\mid }n{\mathrm{\mid }}^2=0$$ である。ここで $$n\cdot A=2\sqrt{10},\mathrm{\mid }n{\mathrm{\mid }}^2=8+40=48$$ だから $$\lambda ={\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{48}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{24}}\mathrm{.}$$ よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H}& {\displaystyle =(0,0,1)-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{24}}(0,-2\sqrt{2},2\sqrt{10})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$H=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})$$ である。

(1) は三角形 $OPQ$ の辺の長さだけで余弦を求める。(2)は $a=1$ を代入した平面の方程式を直接作り、垂線を媒介表示して足を決定する。

(1)

三角形 $OPQ$ の辺の長さは$$OP=2\sqrt{2}a,OQ=PQ=\sqrt{7a^2+1}\mathrm{.}$$余弦定理より$$\cos \mathrm{\angle }OPQ={\displaystyle \frac{O{P}^2+P{Q}^2-O{Q}^2}{2OP\cdot PQ}}={\displaystyle \frac{OP}{2PQ}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{7a^2+1}}}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}2$ に等しいから$${\displaystyle \frac{2a^2}{7a^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$よって $a^2=1$ であり、$a>0$ から$$a=1$$である。

(2)

$a=1$ のとき、平面 $OPQ$ は $x$ 軸を含むから、その方程式を$$\alpha y+\beta z=0$$と置ける。点 $Q=(\sqrt{2},\sqrt{5},1)$ を通るので$$\sqrt{5}\alpha +\beta =0.$$したがって平面の方程式は$$y-\sqrt{5}z=0.$$この平面の法線方向は $(0,1,-\sqrt{5})$ だから、$A=(0,0,1)$ を通る垂線を$$(x,y,z)=(0,0,1)+s(0,1,-\sqrt{5})$$と表す。平面上では$$s-\sqrt{5}(1-\sqrt{5}s)=0,$$よって $6s=\sqrt{5}$、$s=\sqrt{5}\mathrm{/}6$ である。したがって垂線の足は$$H=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})$$である。