北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式理系数学 第5問(a)

$z=x+iy$ とおく。このとき $\bar{z}=x-iy$ である。計算すると $$\alpha z+\beta \bar{z}=(a+bi)(x+iy)+(c+di)(x-iy)$$ であり、実部と虚部はそれぞれ $(a+c)x+(d-b)y,(b+d)x+(a-c)y$ である。したがって同次方程式 $$\alpha z+\beta \bar{z}=0$$ は $$(a+c)x+(d-b)y=0,(b+d)x+(a-c)y=0$$ と同値である。

(1) $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ より $a^2+b^2=c^2+d^2$ である。

まず $\bar{\alpha }+\beta \mathrm{\ne }0$ の場合を考える。このとき $$\bar{\alpha }+\beta =(a+c)+(d-b)i$$ なので、$(a+c,d-b)$ は $(0,0)$ ではない。指定された $z_0=(b-d)+(a+c)i$ について、実部を $x=b-d$、虚部を $y=a+c$ とする。すると第1式は $(a+c)(b-d)+(d-b)(a+c)=0$ となる。第2式は $$(b+d)(b-d)+(a-c)(a+c)=b^2-d^2+a^2-c^2=0$$ である。したがって $z_0$ は同次方程式の解である。また $a+c$ と $d-b$ が同時に0ではないので、$z_0\mathrm{\ne }0$ である。

次に $\bar{\alpha }+\beta =0$ の場合を考える。このとき $c=-a,d=b$ である。指定された $z_0=-a+bi$ について $x=-a$、$y=b$ とすると、第1式は係数がともに0なので成り立つ。第2式は $(2b)(-a)+(2a)b=0$ である。したがってこの場合も $z_0$ は同次方程式の解である。さらに $\alpha \mathrm{\ne }0$ なので $(-a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ であり、$z_0\mathrm{\ne }0$ である。

(2)

方程式 $$\alpha z+\beta \bar{z}+1=0$$ は、実部と虚部を比較して $$(a+c)x+(d-b)y+1=0,(b+d)x+(a-c)y=0$$ となる。$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ なので $D=a^2+b^2-c^2-d^2\mathrm{\ne }0$ である。

この連立方程式を解く。第1式、第2式から消去すると $$x={\displaystyle \frac{c-a}{D}},y={\displaystyle \frac{b+d}{D}}$$ を得る。したがって解の実部と虚部は$$\mathrm{Re}z={\displaystyle \frac{c-a}{a^2+b^2-c^2-d^2}},\mathrm{Im}z={\displaystyle \frac{b+d}{a^2+b^2-c^2-d^2}}$$である。

(3) $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ とする。(1)より、同次方程式 $$\alpha z+\beta \bar{z}=0$$ は0でない解 $z_0$ をもつ。

いま、方程式(*)が解 $z_1$ をもつとする。すなわち $$\alpha z_1+\beta \overline{z_1}+1=0$$ である。このとき $z_1+z_0$ を代入すると$$\alpha (z_1+z_0)+\beta \overline{(z_1+z_0)}+1=\{\alpha z_1+\beta \overline{z_1}+1\}+\{\alpha z_0+\beta \overline{z_0}\}=0$$となる。したがって $z_1+z_0$ も(*)の解である。しかも $z_0\mathrm{\ne }0$ だから $z_1+z_0\mathrm{\ne }{z}_1$ である。よって(*)は $z_1$ と異なる解をもつ。

未知数を $x,y$ に分けず、方程式とその共役を2本の連立方程式として扱う。行列式は $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2$ となり、一意解と同次解の存在が同じ構造から見える。

(1) $$\alpha z+\beta \bar{z}=0$$とその共役$$\bar{\beta }z+\bar{\alpha }\bar{z}=0$$を考える。係数行列の行列式は$$D=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ では $D=0$ であり、非零の同次解が存在する。指定された解は、$\bar{\alpha }+\beta \mathrm{\ne }0$ なら$$z_0=i(\bar{\alpha }+\beta )=(b-d)+(a+c)i,$$$\bar{\alpha }+\beta =0$ なら$$z_0=-\bar{\alpha }=-a+bi\mathrm{.}$$いずれも直接代入して0となり、条件から $z_0\mathrm{\ne }0$ である。

(2)

元の方程式とその共役は$$\{\begin{array}{l}\alpha z+\beta \bar{z}=-1,\\ \bar{\beta }z+\bar{\alpha }\bar{z}=-1.\end{array}$$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ なら $D\mathrm{\ne }0$ なので、クラメルの公式から$$z={\displaystyle \frac{\beta -\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2}}\mathrm{.}$$$$\alpha =a+bi,\beta =c+di$$ を代入すると$$\mathrm{Re}z={\displaystyle \frac{c-a}{a^2+b^2-c^2-d^2}},\mathrm{Im}z={\displaystyle \frac{b+d}{a^2+b^2-c^2-d^2}}\mathrm{.}$$(3)

$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ とし、非同次方程式の1解を $z_1$、(1)の非零同次解を $z_0$ とする。線形性により$$\alpha (z_1+z_0)+\beta \overline{(z_1+z_0)}+1=0.$$$z_0\mathrm{\ne }0$ だから $z_1+z_0\mathrm{\ne }{z}_1$。よって1解があれば必ず別の解もある。