北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$f(x)=\{x^2-(a+2)x+a+2\}{e}^x$$ とおく。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{2x-(a+2)+x^2-(a+2)x+a+2\}{e}^x$$ である。中を整理して $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-ax)e^x=x(x-a)e^x$$ を得る。$e^x>0$ なので、符号は $x(x-a)$ で決まる。 $a>0$ のとき、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $x<0$ で正、$0<x<a$ で負、$x>a$ で正である。したがって $x=a$ が極小点である。このとき $$b=f(a)=\{a^2-(a+2)a+a+2\}{e}^a=(2-a)e^a$$ である。 $a<0$ のとき、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $x<a$ で正、$a<x<0$ で負、$x>0$ で正である。したがって $x=0$ が極小点である。このとき $b=f(0)=a+2$ である。

よって$$b=\{\begin{array}{ll}a+2& (a<0),\\ (2-a)e^a& (a>0)\end{array}$$である。

(2)

問題の定義より$$g(a)=\{\begin{array}{ll}a+2& (a<0),\\ 2& (a=0),\\ (2-a)e^a& (a>0)\end{array}$$である。$a<0$ 側では $g(a)=0$ となるのは $a=-2$、$a>0$ 側では $g(a)=0$ となるのは $a=2$ である。したがって $a$ 軸と囲まれる有限な図形は $-2\leqq a\leqq 2$ にある。

この範囲で $g(a)\geqq 0$ なので、面積は $${\int }_{-2}^0(a+2)da+{\int }_0^2(2-a)e^{a}da$$ である。前半は $${\int }_{-2}^0(a+2)da=2$$ である。後半は $$\int (2-a)e^{a}da=(3-a)e^a$$ だから $${\int }_0^2(2-a)e^{a}da={[(3-a)e^a]}_0^2=e^2-3$$ である。したがって求める面積は $2+(e^2-3)=e^2-1$ である。

極値そのものを場合分けして $g(a)$ を求める。面積は $g$ のグラフを描いて符号を確認し、直線部分と指数関数部分に分けて積分する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x-a)e^x\mathrm{.}$$$a<0$ では $x=a$ が極大、$x=0$ が極小だから$$g(a)=f(0)=a+2.$$$a>0$ では $x=0$ が極大、$x=a$ が極小で、$$g(a)=f(a)=(2-a)e^a\mathrm{.}$$$a=0$ では問題の定義どおり $g(0)=2$ と置けば、両側の式が一致する。よって$$g(a)=\{\begin{array}{ll}a+2& (a\leqq 0),\\ (2-a)e^a& (a\geqq 0)\mathrm{.}\end{array}$$(2)

$-2\leqq a\leqq 2$ では $g(a)\geqq 0$ だから、求める面積は$${\int }_{-2}^{2}g(a)da={\int }_{-2}^0(a+2)da+{\int }_0^2(2-a)e^{a}da\mathrm{.}$$第1項は $2$。また$$\int (2-a)e^{a}da=(3-a)e^a$$なので第2項は $e^2-3$。したがって面積は$$2+(e^2-3)=e^2-1.$$