北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $u=\log x$ とおくと，$x=e^u$，$-1\leqq u\leqq 1$ であり，$$y=\sqrt{1-u^2}$$ である。$u$ を媒介変数として微分すると $${\displaystyle \frac{dy}{du}}={\displaystyle \frac{-u}{\sqrt{1-u^2}}},{\displaystyle \frac{dx}{du}}=e^u=x$$ だから $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{-u}{x\sqrt{1-u^2}}}\mathrm{.}$$ 点 $(x,y)$ における接線が原点を通るためには，接線の傾きが $y\mathrm{/}x$ に等しいので $${\displaystyle \frac{-u}{x\sqrt{1-u^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1-u^2}}{x}}\mathrm{.}$$ 両辺に $x\sqrt{1-u^2}$ を掛けて $-u=1-u^2$ すなわち $u^2-u-1=0$ である。解は $$u={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$$ であり，$-1\leqq u\leqq 1$ に入るのは $$u={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$ である。したがって $x=e^{(1-\sqrt{5})\mathrm{/}2}$ である。

(2)

求める体積は $$V=\pi {\int }_{1\mathrm{/}e}^e\{1-(\log x{)}^2\}dx$$ である。$u=\log x$ と置くと，$dx=e^{u}du$，積分範囲は $-1\leqq u\leqq 1$ になるので $$V=\pi {\int }_{-1}^1(1-u^2)e^{u}du\mathrm{.}$$ ここで $${\displaystyle \frac{d}{du}}\{-e^u(u-1{)}^2\}=e^u(1-u^2)$$ であるから$${\int }_{-1}^1(1-u^2)e^{u}du={[-e^u(u-1{)}^2]}_{-1}^1=0-(-{\displaystyle \frac{4}{e}})={\displaystyle \frac{4}{e}}\mathrm{.}$$よって $$V={\displaystyle \frac{4\pi }{e}}$$ である。

(1) は曲線を $(\log x{)}^2+y^2=1$ と陰関数表示して接線条件を直接使う。(2)は $u=\log x$ で区間を対称にし、部分積分で定積分を評価する。

(1)

曲線 $C$ は$$(\log x{)}^2+y^2=1,y\geqq 0$$と書ける。両辺を $x$ で微分すると$${\displaystyle \frac{2\log x}{x}}+2y{y}^{\mathrm{\prime }}=0,y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{\log x}{xy}}\mathrm{.}$$点 $(x,y)$ における接線が原点を通る条件は $y^{\mathrm{\prime }}=y\mathrm{/}x$ だから$$-{\displaystyle \frac{\log x}{xy}}={\displaystyle \frac{y}{x}}\mathrm{.}$$よって$$-\log x=y^2\mathrm{.}$$これと $y^2=1-(\log x{)}^2$ を合わせ、$$(\log x{)}^2-\log x-1=0.$$$-1\leqq \log x\leqq 1$ に入る解は$$\log x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$だけなので$$x=e^{(1-\sqrt{5})\mathrm{/}2}$$である。

(2)

回転体の体積は$$V=\pi {\int }_{1\mathrm{/}e}^e\{1-(\log x{)}^2\}dx\mathrm{.}$$$u=\log x$ と置けば$$V=\pi {\int }_{-1}^1(1-u^2)e^{u}du\mathrm{.}$$部分積分を二度行うと$$\int (1-u^2)e^{u}du=-e^u(u-1{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$V=\pi {[-e^u(u-1{)}^2]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{4\pi }{e}}\mathrm{.}$$