北海道大学 2001年度 前期日程理系数学 第5問

(1)

4回以内に $A$ が2連勝する場合を勝者列で数える。

まず、1回目と2回目に $A$ が連続して勝つ場合がある。この勝者列は $A,A$ であり、確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

次に、4回目で $A$ が2連勝して終了する場合を考える。途中で誰かが2連勝してはいけないので、勝者列は $B,C,A,A$ に限られる。これの確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{1}{16}}$$ である。

以上は互いに重ならない。したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$$ である。

(2) $n$ 回以内に誰も2連勝しない場合を考える。1回目の勝者は誰でもよい。2回目以降は、直前の勝者が勝てばその時点で2連勝になるので、直前の勝者が毎回負けなければならない。

各回で直前の勝者が負ける確率は $1\mathrm{/}2$ である。したがって、2回目から $n$ 回目まで連続してこのことが起こる確率は ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}$ である。

よって余事象を用いると、$n$ 回以内に誰かが2連勝する確率は $1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}$ である。これは $n=2,3,\dots ,100$ のすべてで成り立つ。

ゲームが第 $m$ 回まで続く確率を状態量とする。
続いている状態から次も続く条件は、直前の勝者が負けることだけなので、
1段階の漸化式になる。

(1)

$A$ が4回以内に2連勝する勝者列は、2回目に終わる $AA$ と、
4回目に終わる $BCAA$ だけである。したがって$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}\mathrm{.}$$(2)

$u_m$ を、第 $m$ 回まで誰も2連勝せずゲームが続いている確率とする。
$u_1=1$ である。続いている状態で次回も続くためには、
直前の勝者が次の相手に負けなければならない。その確率は
${\displaystyle \frac{1}{2}}$ なので$$u_{m+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_m\mathrm{.}$$よって$$u_n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$この余事象を取れば、$n$ 回以内に誰かが2連勝する確率は$$1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}(2\leqq n\leqq 100)$$である。