北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $x=a$ における接線と曲線 $y=f(x)$ の交点を考える。接線は接点 $x=a$ で曲線と接するので、方程式 $f(x)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ は $x=a$ を重解にもつ。接点以外の交点の $x$ 座標を $b$ とすると、この3次方程式の根は $a,a,b$ である。

左辺を移項した3次式は最高次係数1で、$x^2$ の係数は $p$ である。したがって根の和は $-p$ なので $a+a+b=-p$ である。よって $b=-p-2a$ である。

(2) $x=c$ における接線が点 $P(a,f(a))$ を通るとする。この接線と曲線の交点方程式では、$x=c$ が接点なので重解であり、さらに $x=a$ も解である。したがって3つの根は $c,c,a$ である。根の和より $2c+a=-p$ だから $$c=-{\displaystyle \frac{p+a}{2}}$$ である。

なお、問題の仮定より $x=a$ の接線は接点以外の点 $Q$ でも曲線と交わるので、(1)の $b$ は $a$ と異なる。これは $-p-2a\mathrm{\ne }a$、すなわち $p+3a\mathrm{\ne }0$ を意味する。したがって上で得た $c$ も $a$ とは異なる。

(3) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2px+q$ である。まず $$f^{\mathrm{\prime }}(b)-f^{\mathrm{\prime }}(a)=3(b^2-a^2)+2p(b-a)$$ $=(b-a)\{3(a+b)+2p\}$ である。$b=-p-2a$ を代入すると $b-a=-p-3a$ であり、$$3(a+b)+2p=3(-p-a)+2p=-p-3a$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(b)-f^{\mathrm{\prime }}(a)=(p+3a{)}^2$ である。

次に $c=-(p+a)\mathrm{/}2$ より $$a-c={\displaystyle \frac{p+3a}{2}}$$ であり、$$3(a+c)+2p=3(a-{\displaystyle \frac{p+a}{2}})+2p={\displaystyle \frac{p+3a}{2}}$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(a)-f^{\mathrm{\prime }}(c)=(a-c)\{3(a+c)+2p\}={\displaystyle \frac{(p+3a{)}^2}{4}}$$ である。

よって $${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(b)-f^{\mathrm{\prime }}(a)}{f^{\mathrm{\prime }}(a)-f^{\mathrm{\prime }}(c)}}={\displaystyle \frac{(p+3a{)}^2}{(p+3a{)}^2\mathrm{/}4}}=4$$ である。

曲線と接線の差を直接因数分解する。接点に対応する2重因子が明示されるため，余分な交点 $b$ と逆向きの接点 $c$ がただちに求まる。

(1)

直接展開すると$$f(x)-f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)=(x-a{)}^2(x+2a+p)\mathrm{.}$$接点以外の交点の $x$ 座標は$$b=-p-2a\mathrm{.}$$(2)

$x=c$ における接線が $P=(a,f(a))$ を通る条件は$$f(a)-f(c)-f^{\mathrm{\prime }}(c)(a-c)=0.$$左辺は$$(a-c{)}^2(a+2c+p)$$と因数分解できる。$c\mathrm{\ne }a$ より$$c=-{\displaystyle \frac{p+a}{2}}\mathrm{.}$$(3)$$f^{\mathrm{\prime }}(u)-f^{\mathrm{\prime }}(v)=(u-v)\{3(u+v)+2p\}$$を用いる。(1)(2)の値を代入すると$$f^{\mathrm{\prime }}(b)-f^{\mathrm{\prime }}(a)=(p+3a{)}^2,$$$$f^{\mathrm{\prime }}(a)-f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{(p+3a{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$仮定から $b\mathrm{\ne }a$，すなわち $p+3a\mathrm{\ne }0$ なので割ることができ，$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(b)-f^{\mathrm{\prime }}(a)}{f^{\mathrm{\prime }}(a)-f^{\mathrm{\prime }}(c)}}=4.$$