北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず導関数を求める。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{p{e}^{-px}}{(1+e^{-px}{)}^2}}-a\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$h(x)={\displaystyle \frac{p{e}^{-px}}{(1+e^{-px}{)}^2}}$$ とおく。$t=e^{-px}$ とおくと、$p>0$ より $t>0$ であり $$h(x)={\displaystyle \frac{pt}{(1+t{)}^2}}$$ である。

この値の最大を調べる。相加相乗平均より $t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\geqq 2$ であるから $${\displaystyle \frac{(1+t{)}^2}{t}}=t+2+{\displaystyle \frac{1}{t}}\geqq 4$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{t}{(1+t{)}^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、等号は $t=1$、すなわち $x=0$ のときに成り立つ。よって $$0<h(x)\leqq {\displaystyle \frac{p}{4}}$$ であり、最大値は $p\mathrm{/}4$ である。また、$x\to \mathrm{\infty }$ のとき $t=e^{-px}\to 0$、$x\to -\mathrm{\infty }$ のとき $t=e^{-px}\to \mathrm{\infty }$ なので、どちらの場合も $h(x)\to 0$ である。

したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x)-a$ の符号を考えればよい。 $a<0$ のときは $h(x)>0$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり、極値はない。$a=0$ のときも $f^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x)>0$ であり、極値はない。 $0<a<p\mathrm{/}4$ のときは、$h(x)\to 0$ である両端付近では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となり、$x=0$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{p}{4}}-a>0$$ となる。よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は2つの解をもち、その前後で符号が $-+-$ と変化する。したがって $f(x)$ は極小値と極大値をもつ。 $a=p\mathrm{/}4$ のときは $h(x)\leqq p\mathrm{/}4$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x)-{\displaystyle \frac{p}{4}}\leqq 0$$ であり、等号は $x=0$ の一点だけである。符号は負から正、または正から負へ変化しないので、極値はない。 $a>p\mathrm{/}4$ のときは $h(x)<a$ であるから、常に $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり、極値はない。

以上より、$f(x)$ が極値をもつための $a$ の範囲は $$0<a<{\displaystyle \frac{p}{4}}$$ である。

導関数に現れる関数を双曲線型の対称な形に変形し、最大値と符号変化を一度に読む。

導関数は$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{p{e}^{-px}}{(1+e^{-px}{)}^2}}-a\mathrm{.}$$分子・分母に $e^{px}$ を用いて整理すると$${\displaystyle \frac{p{e}^{-px}}{(1+e^{-px}{)}^2}}={\displaystyle \frac{p}{(e^{px\mathrm{/}2}+e^{-px\mathrm{/}2}{)}^2}}\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$e^{px\mathrm{/}2}+e^{-px\mathrm{/}2}\geqq 2$$であり、等号は $x=0$ のときに限る。したがって、この正の関数は $x=0$ で最大値 $p\mathrm{/}4$ をとり、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。また $x<0$ では増加、$x>0$ では減少する。

よって $0<a<p\mathrm{/}4$ のときに限り、方程式 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は負と正の2解をもち、導関数の符号は$$-⟶+⟶-$$と変化する。したがって極小値と極大値をもつ。

$a\leqq 0$、$a\geqq p\mathrm{/}4$ では符号変化を伴う零点がなく、$a=p\mathrm{/}4$ の $x=0$ も停留点にすぎない。ゆえに求める範囲は$$0<a<{\displaystyle \frac{p}{4}}\mathrm{.}$$