北海道大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

曲線 $y=x^2$ の $x=a$ における接線は $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$ である。同様に，$x=b$ における接線は $y=2bx-b^2$ である。

交点 $R$ の $x$ 座標を求めるため，二式を等しいとおく。 $2ax-a^2=2bx-b^2$ $a\mathrm{\ne }b$ なので $2x(a-b)=(a-b)(a+b)$ より $$x={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\mathrm{.}$$ これを $y=2ax-a^2$ に代入すると $y=a(a+b)-a^2=ab$ である。したがって $$R=({\displaystyle \frac{a+b}{2}},ab)$$ である。

(2)

条件より $${\displaystyle \frac{a+b}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}},ab={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}+3}{4}}$$ である。したがって $a+b=\sqrt{3}+1$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a-b{)}^2}& {\displaystyle =(a+b{)}^2-4ab}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sqrt{3}+1{)}^2-(2\sqrt{3}+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1.}\end{array}$$二本の接線の傾きはそれぞれ $2a,2b$ である。よって，二直線のなす角 $\theta$ について $$\tan \theta =\mid {\displaystyle \frac{2a-2b}{1+4ab}}\mid$$ である。したがって $$(\tan \theta {)}^2={\displaystyle \frac{4(a-b{)}^2}{(1+4ab{)}^2}}\mathrm{.}$$ ここで $$1+4ab=1+(2\sqrt{3}+3)=4+2\sqrt{3}=2(2+\sqrt{3})$$ なので$$(\tan \theta {)}^2={\displaystyle \frac{4}{4(2+\sqrt{3}{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(2+\sqrt{3}{)}^2}}=(2-\sqrt{3}{)}^2\mathrm{.}$$さらに $t=\tan \theta$ とすると，$t^2=(2-\sqrt{3}{)}^2$ であり，$0<\theta <{90}^{\circ }$ なので $t=2-\sqrt{3}$ と取れる。二倍角の公式より $$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}}\mathrm{.}$$ よって$$(\tan 2\theta {)}^2={\left\{{\displaystyle \frac{2(2-\sqrt{3})}{1-(2-\sqrt{3}{)}^2}}\right\}}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$したがって $$(\tan \theta {)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2,(\tan 2\theta {)}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

交点から $a+b,ab$ を読み、二次方程式の解として $a,b$ を具体的に求める。接線のなす角が15度であることを確認し、二倍角を角度から求める。

(1)

$x=a,b$ における接線はそれぞれ$$y=2ax-a^2,y=2bx-b^2\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }b$ だから、交点では$$2(a-b)x=(a-b)(a+b),$$よって$$x={\displaystyle \frac{a+b}{2}},y=ab\mathrm{.}$$したがって$$R=({\displaystyle \frac{a+b}{2}},ab)$$である。

(2)

指定された $R$ の座標から$$a+b=\sqrt{3}+1,ab={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}+3}{4}}\mathrm{.}$$よって $a,b$ は$$X^2-(\sqrt{3}+1)X+{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}+3}{4}}=0$$の二根である。判別式は$$(\sqrt{3}+1{)}^2-(2\sqrt{3}+3)=1$$だから、順序を除けば$$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+2}{2}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$二接線の傾きは $\sqrt{3}+2,\sqrt{3}$ であるため$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)}}={\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}\mathrm{.}$$$2-\sqrt{3}=\tan {15}^{\circ }$ なので $\theta ={15}^{\circ }$、したがって $2\theta ={30}^{\circ }$ である。よって$$(\tan \theta {)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2,(\tan 2\theta {)}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$$となる。