北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
放物線 $y=x^2$ の点 $A(a,a^2)$ における接線の傾きは $2a$ である。$a>0$ なので、法線の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$ である。したがって法線の方程式は $$y-a^2=-{\displaystyle \frac{x-a}{2a}}$$ すなわち $$y=a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}$$ である。

これと $y=x^2$ を連立すると $$x^2=a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}$$ である。両辺に $2a$ を掛けて整理すると $2a{x}^2+x-2a^3-a=0$ となる。この方程式は $x=a$ を解にもつので、因数分解して $$(x-a)(2ax+2a^2+1)=0$$ である。したがって、もう一つの交点の $x$ 座標は $$x=-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ である。よって $$B=(-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}},{(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2)$$ である。

(2) $a=1\mathrm{/}2$ のとき、法線は $$y-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ すなわち $$y={\displaystyle \frac{3}{4}}-x$$ である。交点の $x$ 座標は(1)より $$x={\displaystyle \frac{1}{2}},x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。この区間では直線が放物線の上にあるから、求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-3\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{3}{4}}-x-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-3\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のとき、法線は $$y=1-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}$$ である。交点は $$A=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),B=(-\sqrt{2},2)$$ である。

回転軸は $y$ 軸なので、水平断面で考える。放物線は $$x=\pm \sqrt{y}$$、直線は $x=\sqrt{2}(1-y)$ と表される。 $0\leqq y\leqq 1$ では、水平断面の線分は $y$ 軸をまたぎ、回転すると半径 $\sqrt{y}$ の円になる。したがって断面積は $\pi y$ である。 $1\leqq y\leqq 2$ では、水平断面は $y$ 軸の左側だけにあり、外半径が $\sqrt{y}$、内半径が $$\mathrm{\mid }\sqrt{2}(1-y)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(y-1)$$ の円環になる。したがって断面積は $\pi \{y-2(y-1{)}^2\}$ である。

よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{1}ydy+\pi {\int }_1^2\{y-2(y-1{)}^2\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+\pi ({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$

法線と放物線の差を2根で因数分解する。(2)は放物線弓形の積分、(3)は左半分の回転だけで立体全体を生成できることを用いて円筒殻で計算する。

(1)

点 $A$ における法線は$$y=a^2-{\displaystyle \frac{x-a}{2a}}\mathrm{.}$$放物線との差は2交点で0になるので$$a^2-{\displaystyle \frac{x-a}{2a}}-x^2=-(x-a)(x+a+{\displaystyle \frac{1}{2a}})\mathrm{.}$$したがって第2の交点は$$B=(-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}},{(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2)\mathrm{.}$$(2)

$a=1\mathrm{/}2$ のとき2根は $-3\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2$ で、その間隔は2である。$u=x+3\mathrm{/}2$ と置けば、直線と放物線の差は $u(2-u)$ となる。よって$$S={\int }_0^{2}u(2-u)du={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$(3)

$a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のとき、法線は$$y=1-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}$$で、交点の $x$ 座標は $-\sqrt{2},1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。左側 $x\leqq 0$ の領域を $y$ 軸の周りに回すだけで、右側から生じる部分もすべて含む。したがって円筒殻法より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_{-\sqrt{2}}^0(-x)(1-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}r(1+{\displaystyle \frac{r}{\sqrt{2}}}-r^2)dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$